기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
줄 수 4인 웜이 1440 rpm으로 돌며 잇수 80개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 nw을(를) 구하시오.
z = 4Nw = 80n = 1440 rpm
nw = rpm
2.기어와 기어열어려움
평벨트가 125 mm 풀리와 315 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 600 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.
d1 = 125 mmd2 = 315 mmC = 600 mm
θ = °
3.축의 비틀림보통
알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 100 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1450 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 15° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = 40 MPaσy = −20 MPaτxy = −40 MPaθ = 15°
σy′ = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −60 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).
σx = −60 MPaσy = 70 MPaτxy = −40 MPaθ = 15°
τθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 50 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 120 GPa, σallow = 80 MPa
Pmax = kN
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
강성 5 kN/m인 스프링에 달린 40 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 40 kgk = 5 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.기계 진동어려움
20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 40 kN/m, k₂ = 5 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 20 kgk1 = 40 kN/mk2 = 5 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: nw = 72 rpm
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
휠 속도
nw = n·z/Nw = 1440·4/80 = 72 rpm
답
nw = 72 rpm
2.기어와 기어열
답: θ = 161.8 °
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 각도
asin(0.1583) = 9.11°
접촉각
θ = 180 − 2·9.11 = 161.8°
답
θ = 161.8°
3.축의 비틀림
답: φ = 3.325 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·79522) = 0.05804 rad
φ = 0.05804·180/π = 3.325°
답
φ = 3.325°
4.축의 비틀림
답: d = 20.32 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 20000/151.8 = 131.7 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·131714/(π·80)) = 20.32 mm
답
d = 20.32 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 4.019 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 10 − 30·0.866 − (−40)·0.5 = 4.019 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 15.98 MPa, σx′ + σy′ = 20 = σx + σy
답
σy′ = 4.019 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: τθ = −2.141 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
τθ = −−65·0.5 + −40·0.866 = −2.141 MPa
답
τθ = −2.141 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 1360 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 159.2/117000 = 0.00136 = 1360 µε
답
ε = 1360 µε
8.축 응력과 변형률
답: Pmax = 343.5 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·2199 = 5.152 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.00075, 0.0006667) = 0.0006667 (구리)
최대 하중
Pmax = 0.0006667·5.152 × 10⁸ = 343481 N = 343.5 kN
답
Pmax = 343.5 kN
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 161.1 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1050² = 161136 N = 161.1 kN
답
Pcr = 161.1 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 55.08 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 0.7·1000 = 700 mm
KL/r = 700/6.25 = 112
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55.08 MPa
답
σcr = 55.08 MPa
11.기계 진동
답: fd = 1.697 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(5000/40) = 11.18 rad/s
fn = 11.18/(2π) = 1.779 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.779·√(1 − 0.3²) = 1.697 Hz
답
fd = 1.697 Hz
12.기계 진동
답: keq = 45 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 40 + 5 = 45 kN/m
답
keq = 45 kN/m
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