기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 157.5 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 5 mm, 감속비 2.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N₁은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 157.5 mmm = 5 mmi = 2.5

N₁ =

2.기어와 기어열어려움

1450 rpm의 15 kW 모터가 기어 A(잇수 18개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 48개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 45개)는 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 15 kWn_in = 1450 rpmA = 18B = 48C = 45D = 60η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 10 mm인 속이 찬 시편에 토크 75 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 13.68° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 75 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 13.68°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 강철 축이 1500 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 1°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 40 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −20 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = −60 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −20 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 500 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 85 kNn = 2L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 100 kN/m인 스프링에 달린 20 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk = 100 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 25 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 5 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₁ = 18

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·157.5/5 = 63

비율로 나누기

N₁ = 63/(1 + 2.5) = 18

답

N₁ = 18

2.기어와 기어열

답: T_out = 317 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 1450·(18/48)·(45/60) = 407.8 rpm

ω_out = 2π·407.8/60 = 42.71 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 15000·0.95² = 13538 W

T_out = P_out/ω_out = 13538/42.71 = 317 N·m

답

T_out = 317 N·m

3.축의 비틀림

답: G = 79.99 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·10⁴/32 = 981.7 mm⁴

φ = 13.68·π/180 = 0.2388 rad

전단 탄성 계수

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·250/(981.7·0.2388) = 79990 MPa

G = 79.99 GPa

답

G = 79.99 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: d = 31.04 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

강도 기준 지름

T = 127.3 N·m = 127324 N·mm

d_τ = ∛(16·127324/(π·75)) = 20.52 mm

강성 기준 지름

θ = 1·π/180/1000 = 1.745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·127324/(π·80000·1.745 × 10⁻⁵))^1/4 = 31.04 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(20.52, 31.04) = 31.04 mm

답

d = 31.04 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 41.23 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((0 − −20)/2)² + 40²) = 41.23 MPa

답

τ_max = 41.23 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 3.73

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = −35 MPa, R = 32.02 MPa

σ₁ = −2.984 MPa, σ₂ = −67.02 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 67.02 MPa

n = 250/67.02 = 3.73

답

n = 3.73

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04823 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 120·10³·7461 = 1.037 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 100000·500/1.037 × 10⁹ = 0.04823 mm

답

δ = 0.04823 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 32.81 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 70000·706.9/500 = 98960 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 60000·98960/256040 = 23190 N

응력

σ₂ = 23190/706.9 = 32.81 MPa (압축)

답

σ₂ = 32.81 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 9.922 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9.922 kN

답

P_cr = 9.922 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 79.18 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·2800²/(π³·70000))^(1/4) = 79.18 mm

답

d = 79.18 mm

확인: 세장비 KL/r는 141.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 10.74 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(100000/20) = 70.71 rad/s

f_n = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.3²) = 10.74 Hz

답

f_d = 10.74 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 3.249 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/5 → k_eq = 25·5/(25 + 5) = 4.167 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(4167/10) = 20.41 rad/s

f_n = 20.41/(2π) = 3.249 Hz

답

f_n = 3.249 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design