기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 15 kW 모터가 잇수 30개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 72개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 15 kWn₁ = 960 rpmN₁ = 30N₂ = 72η = 98%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 2880 rpm의 200 mm 구동 풀리를 400 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1200 mm입니다. 마찰계수는 0.25이고 긴장측 장력은 800 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 200 mmn₁ = 2880 rpmd₂ = 400 mmC = 1200 mmμ = 0.25T₁ = 800 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 250 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 250 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 40 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 1.5 m 떨어진 B에 토크 1000 N·m이(가), 거기서 2 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 50 mmT_B = 1000 N·mT_C = 250 N·mAB = 1.5 mBC = 2 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 15° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 15°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 10 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = 10 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 120 kNd = 20 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 160 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 145 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 145 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 15 kN/m인 스프링에 달린 2 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 2 kgk = 15 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 20 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 25 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 25 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 350.9 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/100.5 = 149.2 N·m

출력 토크

T₂ = 149.2·72/30·0.98 = 350.9 N·m

답

T₂ = 350.9 N·m

2.기어와 기어열

답: P = 12.66 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.975 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.7437 = 2.104, T₂ = 800/2.104 = 380.3 N

전력

P = (800 − 380.3)·30.16 = 12.66 kW

답

P = 12.66 kW

3.축의 비틀림

답: d_o = 35.98 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 250 N·m = 250000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·40·0.6836)) = 35.98 mm

d_i = 0.75·35.98 = 26.98 mm

답

d_o = 35.98 mm

속이 찬 축이라면 d = 31.69 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 50.93 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 250 N·m

T_AB = T_C + T_B = 250 + 1000 = 1250 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 1250 N·m

τ_max = 16·1.25 × 10⁶/(π·50³) = 50.93 MPa

답

τ_max = 50.93 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 83.66 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 60 − (−10)·0.866 − (−30)·0.5 = 83.66 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 36.34 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 120 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 83.66 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 88.32 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 0 MPa, R = 50.99 MPa

σ₁ = 50.99 MPa, σ₂ = −50.99 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(50.99² − 50.99·(−50.99) + (−50.99)²) = 88.32 MPa

답

σ_vM = 88.32 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 3265 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 120·1000/314.2 = 382 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 382/117000 = 0.003265 = 3265 µε

답

ε = 3265 µε

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 360 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 70·10³·5027 = 4.5 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0008, 0.001429) = 0.0008 (강철)

최대 하중

P_max = 0.0008·4.5 × 10⁸ = 360027 N = 360 kN

답

P_max = 360 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 5.264 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/5000² = 5264 N = 5.264 kN

답

P_cr = 5.264 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 99.04 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·145000 = 362500 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·362500·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 99.04 mm

답

d = 99.04 mm

확인: 세장비 KL/r는 121.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 11.03 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(15000/2) = 86.6 rad/s

f_n = 86.6/(2π) = 13.78 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 13.78·√(1 − 0.6²) = 11.03 Hz

답

f_d = 11.03 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 5.305 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/25 → k_eq = 20·25/(20 + 25) = 11.11 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(11111/10) = 33.33 rad/s

f_n = 33.33/(2π) = 5.305 Hz

답

f_n = 5.305 Hz

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