기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
960 rpm의 0.75 kW 모터가 줄 수 1인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 36개이고 구동 장치의 효율은 70%이다. 휠 축의 출력 토크 Tw을(를) 구하시오.
z = 1Nw = 36n = 960 rpmP = 0.75 kWη = 70%
Tw = N·m
2.기어와 기어열어려움
평벨트가 200 mm 풀리와 450 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 800 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.
d1 = 200 mmd2 = 450 mmC = 800 mm
θ = °
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 30 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 0.84° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 30 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 0.84°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
지름 30 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.5 m, B에서 0.5 m 떨어진 C에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 30 mmT0 = 250 N·ma = 1.5 mb = 0.5 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −20 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = −20 MPaσy = 30 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 50 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 140 kN와(과) 토크 400 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 50 mmF = −140 kNT = 400 N·m
σ1 = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 80 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 35 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 105 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 105 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 11.8 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 25 mmx4 = 11.8 mmn = 4
ζ =
12.기계 진동어려움
50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 50 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 50 kgk1 = 5 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: Tw = 188 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
휠 속도
nw = n·z/Nw = 960·1/36 = 26.67 rpm
출력 토크
ωw = 2π·26.67/60 = 2.793 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.7·750/2.793 = 188 N·m
답
Tw = 188 N·m
2.기어와 기어열
답: θ = 162 °
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 각도
asin(0.1563) = 8.989°
접촉각
θ = 180 − 2·8.989 = 162°
답
θ = 162°
3.축의 비틀림
답: G = 39.08 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 0.84·π/180 = 0.01466 rad
전단 탄성 계수
T = 30 N·m = 30000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 30000·300/(15708·0.01466) = 39081 MPa
G = 39.08 GPa
답
G = 39.08 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: τmax = 35.37 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·0.5/2 = 62.5 N·m
TB = 250·1.5/2 = 187.5 N·m
최대 전단 응력
두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).
τmax = 16·187500/(π·30³) = 35.37 MPa
답
τmax = 35.37 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: θp = −64.9 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·−30, −20 − 30) = −129.8°
요소에서의 각도
θp = −64.9°
답
θp = −64.9°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 3.549 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −140000/(π·50²/4) = −140000/1963 = −71.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·400000/(π·50³) = 16.3 MPa
모어 원
C = σ/2 = −35.65 MPa
R = √((−35.65)² + 16.3²) = 39.2 MPa
σ1 = C + R = 3.549 MPa
σ2 = C − R = −74.85 MPa
답
σ1 = 3.549 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 7.276 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 80·1000/78.54 = 1019 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 1019/70000 = 0.01455 = 14551 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.01455·500 mm = 7.276 mm
답
δ = 7.276 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 309.5 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 27.85 MPa
σ2 = 309.5 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 309.5 MPa
답
σmax = 309.5 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 5.849 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·3000 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·26667/3000² = 5849 N = 5.849 kN
답
Pcr = 5.849 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 123.4 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·105000 = 315000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·315000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 123.4 mm
답
d = 123.4 mm
확인: 세장비 KL/r는 162이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.02986
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/4)·ln(25/11.8) = 0.1877
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1877/√(39.48 + 0.03523) = 0.02986
답
ζ = 0.02986
12.기계 진동
답: keq = 55 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 5 + 50 = 55 kN/m
답
keq = 55 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design