기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

150 mm 풀리가 1440 rpm으로 돌며 미끄러짐 1 %인 벨트로 450 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 200 mm 풀리와 250 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 600 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 200 mmd₂ = 250 mmC = 600 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 25 mm, 길이 1.2 m이고, 구간 BC는 지름 20 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

T = 200 N·md₁ = 25 mm, L₁ = 1.2 md₂ = 20 mm, L₂ = 0.8 m

τ_max = MPa

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 300 rpm에서 15 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 70 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = −70 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −80 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 30°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 300 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 100 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaP = 100 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 한 주기 뒤에 최댓값 13.3 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 25 mmx₁ = 13.3 mmn = 1

ζ =

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 15 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 10 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 475.2 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1440·150/450 = 480 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 480·0.99 = 475.2 rpm

답

n₂ = 475.2 rpm

2.기어와 기어열

답: θ = 175.2 °

벨트 각도

asin(0.04167) = 2.388°

접촉각

θ = 180 − 2·2.388 = 175.2°

답

θ = 175.2°

3.축의 비틀림

답: τ_max = 127.3 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

각 구간의 응력

T = 200 N·m = 200000 N·mm

τ_AB = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa

τ_BC = 16·200000/(π·20³) = 127.3 MPa

답

τ_max = 127.3 MPa

4.축의 비틀림

답: τ_max = 64.36 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 477465·20/148384 = 64.36 MPa

답

τ_max = 64.36 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 34.1 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·50, 70 − 30) = 68.2°

요소에서의 각도

θ_p = 34.1°

답

θ_p = 34.1°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −120.8 MPa

변환 식

σ_θ = −75 + −5·0.5 + −50·0.866 = −120.8 MPa

답

σ_θ = −120.8 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 39.27 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·490.9) = 6.112 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·1963) = 1.528 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/7.639 × 10⁻⁶ = 39270 N = 39.27 kN

답

P = 39.27 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 65.57 MPa

강성

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm

k₂ = 120000·706.9/400 = 212058 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 100000·212058/457494 = 46352 N

응력

σ₂ = 46352/706.9 = 65.57 MPa (압축)

답

σ₂ = 65.57 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 32.75 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1500 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32.75 kN

답

P_cr = 32.75 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 3.084 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/10 = 800

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/800² = 3.084 MPa

답

σ_cr = 3.084 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.09994

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/1)·ln(25/13.3) = 0.6311

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6311/√(39.48 + 0.3983) = 0.09994

답

ζ = 0.09994

12.기계 진동

답: f_n = 2.516 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 10 + 15 = 25 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(25000/100) = 15.81 rad/s

f_n = 15.81/(2π) = 2.516 Hz

답

f_n = 2.516 Hz

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