기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 160 mmd2​ = 315 mm1440 rpmn2​ = ?

160 mm 풀리가 1440 rpm으로 돌며 미끄러짐 1 %인 벨트로 315 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.

n1 = 1440 rpmd1 = 160 mmd2 = 315 mms = 1 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
A = 30B = 50C = 15D = 45

960 rpm의 15 kW 모터가 기어 A(잇수 30개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 50개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 15개)는 출력축의 기어 D(잇수 45개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.

P = 15 kWnin = 960 rpmA = 30B = 50C = 15D = 45ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
do​ = 60, di​ = 45 mmT = 400 N·mL = 1.2 m

알루미늄 중공축(바깥지름 60 mm, 안지름 45 mm, 길이 1.2 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 400 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 400 N·mdo = 60 mmdi = 45 mmL = 1.2 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = ?5 kW, 500 rpm

속이 찬 황동 축이 500 rpm에서 5 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 500 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0.5°/mG = 39 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 100σy​ = −10MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −10 MPa이다. 최대 주응력이 130 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = 100 MPaσy = −10 MPaσ1 = 130 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
25°D = 500 mm, t = 10 mm, p = 1.2 MPap

안지름 500 mm, 벽 두께 10 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 25°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σn을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 10 mmp = 1.2 MPaα = 25°
σn = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 25 mm알루미늄1.5 mP = 65 kN

축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 65 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 70 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
30 kN12400 mm300 mmØ25Ø50σ2​ = ?

강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 300 mm, E = 70 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø50 mm, 300 mm, E = 70 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 4 md = 40 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 6 md = 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 150 kN/mc = 2940 N·s/mm = 40 kg

40 kg 질량이 강성 150 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 2940 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 40 kgk = 150 kN/mc = 2940 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 12k2​ = 80m = 40 kg

40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 12 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 80 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: n2 = 724.1 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1440·160/315 = 731.4 rpm

미끄러짐이 있을 때

n2 = 731.4·0.99 = 724.1 rpm

답

n2 = 724.1 rpm
2.기어와 기어열

답: Tout = 701.9 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

nout = 960·(30/50)·(15/45) = 192 rpm
ωout = 2π·192/60 = 20.11 rad/s

출력 동력과 토크

Pout = 15000·0.97² = 14114 W
Tout = Pout/ωout = 14114/20.11 = 701.9 N·m

답

Tout = 701.9 N·m
3.축의 비틀림

답: φ = 1.216 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 45⁴)/32 = 869767 mm⁴

비틀림각

T = 400 N·m = 400000 N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 400000·1200/(26000·869767) = 0.02123 rad
φ = 0.02123·180/π = 1.216°

답

φ = 1.216°
4.축의 비틀림

답: d = 41.12 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 5000/52.36 = 95.49 N·m

강도 기준 지름

T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·40)) = 22.99 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·95493/(π·39000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 41.12 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(22.99, 41.12) = 41.12 mm

답

d = 41.12 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 64.81 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (100 + (−10))/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 130 − 45 = 85 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 55²) = 64.81 MPa

답

τxy = 64.81 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σn = 27.32 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 500/2 = 250 mm
σh = pr/t = 1.2·250/10 = 30 MPa
σa = pr/(2t) = 15 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σn = 15·sin²25° + 30·cos²25° = 27.32 MPa

답

σn = 27.32 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 2.838 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 65·1000/490.9 = 132.4 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 132.4/70000 = 0.001892 = 1892 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.001892·1500 mm = 2.838 mm

답

δ = 2.838 mm
8.축 응력과 변형률

답: σ2 = 9.949 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·490.9/400 = 245437 N/mm
k₂ = 70000·1963/300 = 458149 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 30000·458149/703586 = 19535 N

응력

σ2 = 19535/1963 = 9.949 MPa (압축)

답

σ2 = 9.949 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 31.64 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2800² = 31639 N = 31.64 kN

답

Pcr = 31.64 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 21.93 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/20 = 300

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21.93 MPa

답

σcr = 21.93 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.6001

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(150000·40) = 4899 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 2940/4899 = 0.6001

답

ζ = 0.6001

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: keq = 10.43 kN/m

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/80 → keq = 12·80/(12 + 80) = 10.43 kN/m

답

keq = 10.43 kN/m

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