기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1450 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 18개, 모듈 5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.
P = 5.5 kWn = 1450 rpmN1 = 18m = 5 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
1440 rpm의 1.5 kW 모터가 기어 A(잇수 36개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 48개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 16개)는 출력축의 기어 D(잇수 25개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 1.5 kWnin = 1440 rpmA = 36B = 48C = 16D = 25ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 750 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
중공축이 1000 rpm에서 75 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
P = 75 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.7τallow = 60 MPa
do = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = 70 MPa이다. 최대 주응력이 155 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 130 MPaσy = 70 MPaσ1 = 155 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 35° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 130 MPaσy = −60 MPaτxy = −30 MPaθ = 35°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø60 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 120 kN구간 1: Ø30 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
25 kg 질량이 강성 50 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 110 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 25 kgk = 50 kN/mc = 110 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
10 kg 질량이 스프링 k₃ = 30 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 40 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 10 kgk1 = 20 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 30 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: Ft = 804.9 N
기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.
피니언의 토크
ω = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 5500/151.8 = 36.22 N·m
피치원 지름
d = m·N = 5·18 = 90 mm
접선력
Ft = 2T/d = 2·36.22/0.09 = 804.9 N
답
Ft = 804.9 N
2.기어와 기어열
답: Tout = 18.7 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 1440·(36/48)·(16/25) = 691.2 rpm
ωout = 2π·691.2/60 = 72.38 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 1500·0.95² = 1354 W
Tout = Pout/ωout = 1354/72.38 = 18.7 N·m
답
Tout = 18.7 N·m
3.축의 비틀림
답: φ = 2.192 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 750·1000·500/(39000·251327) = 0.03826 rad
φ = 0.03826·180/π = 2.192°
답
φ = 2.192°
4.축의 비틀림
답: do = 43.09 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 75000/104.7 = 716.2 N·m
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 716.2 N·m = 716197 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·716197/(π·60·0.7599)) = 43.09 mm
di = 0.7·43.09 = 30.16 mm
답
do = 43.09 mm
속이 찬 축이라면 d = 39.32 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 46.1 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (130 + 70)/2 = 100 MPa
R = σ1 − C = 155 − 100 = 55 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 30²) = 46.1 MPa
답
τxy = 46.1 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 39.3 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 35 + 95·0.342 + −30·0.9397 = 39.3 MPa
답
σθ = 39.3 MPa
7.축 응력과 변형률
답: P = 66.43 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 1257 mm², A₂ = 2827 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·2827) = 2.526 × 10⁻⁶ mm/N
하중
P = 0.3/4.516 × 10⁻⁶ = 66435 N = 66.43 kN
답
P = 66.43 kN
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 382 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 169.8 MPa
σ2 = 382 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 382 MPa
답
σmax = 382 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 11.66 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/4200² = 11656 N = 11.66 kN
답
Pcr = 11.66 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 35.25 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/7.5 = 140
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
답
σcr = 35.25 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.04919
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(50000·25) = 2236 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 110/2236 = 0.04919
답
ζ = 0.04919
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 7.118 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 20 + 40 = 60 kN/m
keq = 60·30/(60 + 30) = 20 kN/m
고유 진동수
ωn = √(20000/10) = 44.72 rad/s
fn = 44.72/(2π) = 7.118 Hz
답
fn = 7.118 Hz
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