기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1440 rpm으로 도는 15 kW 모터가 잇수 40개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 80개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 15 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 40N₂ = 80η = 95%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 150 mm 풀리와 450 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 800 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 150 mmd₂ = 450 mmC = 800 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 500 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 40 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 20° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −40 MPaθ = -20°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −10 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 355 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = −10 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 500 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø30 mm, 500 mm, E = 70 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 30 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 110 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 110 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 4 kN/m인 스프링에 달린 10 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk = 4 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 12 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 99.47 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 15000/150.8 = 99.47 N·m

답

T₁ = 99.47 N·m

2.기어와 기어열

답: θ = 158.4 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.1875) = 10.81°

접촉각

θ = 180 − 2·10.81 = 158.4°

답

θ = 158.4°

3.축의 비틀림

답: φ = 0.4669 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2000/(80000·613592) = 0.008149 rad

φ = 0.008149·180/π = 0.4669°

답

φ = 0.4669°

4.축의 비틀림

답: d = 28.97 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 15000/52.36 = 286.5 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·286479/(π·60)) = 28.97 mm

답

d = 28.97 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = −12.2 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 25 − 15·0.766 − (−40)·(−0.6428) = −12.2 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 62.2 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 50 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = −12.2 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 4.583

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = −45 MPa, R = 36.4 MPa

σ₁ = −8.599 MPa, σ₂ = −81.4 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √((−8.599)² − (−8.599)·(−81.4) + (−81.4)²) = 77.46 MPa

n = 355/77.46 = 4.583

답

n = 4.583

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 22.14 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 314.2 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314.2) = 7.958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(70000·706.9) = 1.011 × 10⁻⁵ mm/N

하중

P = 0.4/1.806 × 10⁻⁵ = 22145 N = 22.14 kN

답

P = 22.14 kN

8.축 응력과 변형률

답: δ = 2.109 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 23.87 MPa

σ₂ = 265.3 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 23.87·1000/200000 = 0.1194 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 265.3·1500/200000 = 1.989 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.109 mm

답

δ = 2.109 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 12.34 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·5000 = 10000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·625000/10000² = 12337 N = 12.34 kN

답

P_cr = 12.34 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 92.43 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 92.43 mm

답

d = 92.43 mm

확인: 세장비 KL/r는 129.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 3.036 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(4000/10) = 20 rad/s

f_n = 20/(2π) = 3.183 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.3²) = 3.036 Hz

답

f_d = 3.036 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 4.64 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 12 = 17 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(17000/20) = 29.15 rad/s

f_n = 29.15/(2π) = 4.64 Hz

답

f_n = 4.64 Hz

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