기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

줄 수 4인 웜이 2900 rpm으로 돌며 잇수 48개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 n_w을(를) 구하시오.

z = 4N_w = 48n = 2900 rpm

n_w = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 16개)를 구동한다. 기어 C(잇수 25개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 36개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1500 rpmA = 15B = 16C = 25D = 36

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

알루미늄 중공축(바깥지름 60 mm, 안지름 30 mm, 길이 3 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 750 N·md_o = 60 mmd_i = 30 mmL = 3 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 30 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.5 m, B에서 0.8 m 떨어진 C에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 30 mmT₀ = 250 N·ma = 0.5 mb = 0.8 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 160 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 1200 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 3 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 50°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 50°

σ_n = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 600 mm이며 강체 판 사이에서 200 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 200 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 95 kN구간 1: Ø30 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 25 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 25 kNn = 3L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 20 kN/m인 스프링에 달린 100 kg 질량에 감쇠비 0.4을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk = 20 kN/mζ = 0.4

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 스프링 k₃ = 30 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 60 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 60 kN/mk₃ = 30 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n_w = 241.7 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 2900·4/48 = 241.7 rpm

답

n_w = 241.7 rpm

2.기어와 기어열

답: n_out = 976.6 rpm

1단

n_B = 1500·15/16 = 1406 rpm = n_C

2단

n_out = 1406·25/36 = 976.6 rpm

답

n_out = 976.6 rpm

전체 기어비 = 1.536 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 4.157 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1.193 × 10⁶ mm⁴

비틀림각

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·3000/(26000·1.193 × 10⁶) = 0.07255 rad

φ = 0.07255·180/π = 4.157°

답

φ = 4.157°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 29.02 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·0.8/1.3 = 153.8 N·m

T_B = 250·0.5/1.3 = 96.15 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τ_max = 16·153846/(π·30³) = 29.02 MPa

답

τ_max = 29.02 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = −38.74 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = 10/46.1 = 0.2169, sin 2θ_s = −45/46.1 = −0.9762

2θ_s = atan2(−45, 10) = −77.47°

요소에서의 각도

θ_s = −38.74°

검산: θ_s − θ_p = −38.74 − 6.264 = −45°

답

θ_s = −38.74°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 159 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 3·600/8 = 225 MPa

σ_a = pr/(2t) = 112.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 112.5·sin²50° + 225·cos²50° = 159 MPa

답

σ_n = 159 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1358 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·7461 = 8.836 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 200000·600/8.836 × 10⁸ = 0.1358 mm

답

δ = 0.1358 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 6.574 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 134.4 MPa

σ₂ = 840 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 134.4·500/117000 = 0.5743 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 840·500/70000 = 6 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.574 mm

답

δ = 6.574 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 7.139 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/6000² = 7139 N = 7.139 kN

답

P_cr = 7.139 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 51.37 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·25000 = 75000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 51.37 mm

답

d = 51.37 mm

확인: 세장비 KL/r는 233.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 2.063 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(20000/100) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.4²) = 2.063 Hz

답

f_d = 2.063 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 5.338 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 30 + 60 = 90 kN/m

k_eq = 90·30/(90 + 30) = 22.5 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(22500/20) = 33.54 rad/s

f_n = 33.54/(2π) = 5.338 Hz

답

f_n = 5.338 Hz

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