기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 90 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 2 mm, 감속비 3.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N₁은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 90 mmm = 2 mmi = 3.5

N₁ =

2.기어와 기어열어려움

960 rpm의 3 kW 모터가 기어 A(잇수 12개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 48개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 45개)는 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 3 kWn_in = 960 rpmA = 12B = 48C = 45D = 60η_mesh = 95%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

강철 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 35 mm, 길이 3 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 750 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 750 N·md_o = 50 mmd_i = 35 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 500 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 500 rpmd_o = 80 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 130 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 500 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 20°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 500 mmt = 8 mmp = 2 MPaα = 20°

|τ_n| = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 300 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 160 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 50 mm, E = 70 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa관: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 10 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 10 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 25 kN/m인 스프링에 달린 5 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk = 25 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 15 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 10 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₁ = 20

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·90/2 = 90

비율로 나누기

N₁ = 90/(1 + 3.5) = 20

답

N₁ = 20

2.기어와 기어열

답: T_out = 143.6 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 960·(12/48)·(45/60) = 180 rpm

ω_out = 2π·180/60 = 18.85 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 3000·0.95² = 2708 W

T_out = P_out/ω_out = 2708/18.85 = 143.6 N·m

답

T_out = 143.6 N·m

3.축의 비틀림

답: φ = 3.456 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

비틀림각

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 750000·3000/(80000·466269) = 0.06032 rad

φ = 0.06032·180/π = 3.456°

답

φ = 3.456°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 15.2 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 75000/52.36 = 1432 N·m

극관성 모멘트

J = π(80⁴ − 40⁴)/32 = 3.77 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.432 × 10⁶·40/3.77 × 10⁶ = 15.2 MPa

답

τ_max = 15.2 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 56.57 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((130 − 50)/2)² + −40²) = 56.57 MPa

답

τ_max = 56.57 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 10.04 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 2·250/8 = 62.5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 31.25 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (62.5 − 31.25)·sin 20°·cos 20° = 10.04 MPa

답

|τ_n| = 10.04 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.11 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 110·10³·9346 = 1.091 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 300000·400/1.091 × 10⁹ = 0.11 mm

답

δ = 0.11 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 198 kN

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·3063 = 2.772 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0008, 0.0007143) = 0.0007143 (알루미늄)

최대 하중

P_max = 0.0007143·2.772 × 10⁸ = 198033 N = 198 kN

답

P_max = 198 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 32.75 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 40·20³/12 = 26667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1500 = 750 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·26667/750² = 32752 N = 32.75 kN

답

P_cr = 32.75 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 33.7 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 33.7 mm

답

d = 33.7 mm

확인: 세장비 KL/r는 296.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 10.74 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(25000/5) = 70.71 rad/s

f_n = 70.71/(2π) = 11.25 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 11.25·√(1 − 0.3²) = 10.74 Hz

답

f_d = 10.74 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 5.513 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/10 → k_eq = 15·10/(15 + 10) = 6 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(6000/5) = 34.64 rad/s

f_n = 34.64/(2π) = 5.513 Hz

답

f_n = 5.513 Hz

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