기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

150 mm 풀리가 1450 rpm으로 돌며 미끄러짐 2.5 %인 벨트로 200 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 200 mms = 2.5 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 15개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1440 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 15N_p = 24n_s = 1440 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 750 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 750 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 750 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 35 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 20 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −10 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 460 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 140 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 45 kNd = 10 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 90 kN구간 1: Ø30 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 90 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 90 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 8 kN/m인 스프링에 달린 25 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk = 8 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 스프링 k₃ = 50 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 10 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 10 kN/mk₃ = 50 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 1060 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1450·150/200 = 1088 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 1088·0.975 = 1060 rpm

답

n₂ = 1060 rpm

2.기어와 기어열

답: n_c = 276.9 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·24 = 63

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1440 − n_c)/(0 − n_c) = −63/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1440·15/78 = 276.9 rpm

답

n_c = 276.9 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: d_o = 42.08 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·75·0.6836)) = 42.08 mm

d_i = 0.75·42.08 = 31.56 mm

답

d_o = 42.08 mm

속이 찬 축이라면 d = 37.07 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 20.48 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 30000/78.54 = 382 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 35⁴)/32 = 466269 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·25/466269 = 20.48 MPa

답

τ_max = 20.48 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = −79.1 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·−10, 20 − 70) = −158.2°

요소에서의 각도

θ_p = −79.1°

답

θ_p = −79.1°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.596

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 125 MPa, R = 52.2 MPa

σ₁ = 177.2 MPa, σ₂ = 72.8 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 177.2 MPa

n = 460/177.2 = 2.596

답

n = 2.596

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 14.32 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²

σ = P/A = 45·1000/78.54 = 573 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 573/100000 = 0.00573 = 5730 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.00573·2500 mm = 14.32 mm

답

δ = 14.32 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 795.8 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·30²/4 = 706.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 127.3 MPa

σ₂ = 795.8 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 795.8 MPa

답

σ_max = 795.8 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 62.01 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·1000 = 500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/500² = 62013 N = 62.01 kN

답

P_cr = 62.01 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 57.78 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·90000 = 270000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·270000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 57.78 mm

답

d = 57.78 mm

확인: 세장비 KL/r는 138.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 2.278 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(8000/25) = 17.89 rad/s

f_n = 17.89/(2π) = 2.847 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.847·√(1 − 0.6²) = 2.278 Hz

답

f_d = 2.278 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 1.71 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 5 + 10 = 15 kN/m

k_eq = 15·50/(15 + 50) = 11.54 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(11538/100) = 10.74 rad/s

f_n = 10.74/(2π) = 1.71 Hz

답

f_n = 1.71 Hz

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