기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
벨트가 100 mm 구동 풀리 위를 720 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 500 N, 이완측 250 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
d1 = 100 mmn1 = 720 rpmT1 = 500 NT2 = 250 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 16개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 유성 캐리어는 고정되어 있고 태양 기어는 900 rpm으로 구동된다. 링 기어의 회전 속도 nr(크기)을(를) 구하시오.
Ns = 16Np = 24ns = 900 rpm
nr = rpm
3.축의 비틀림보통
황동 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 38 mm, 길이 2 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 500 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 500 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 2 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 750 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 750 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 130 MPaσy = 100 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 25 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 170 kN와(과) 토크 500 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 25 mmF = −170 kNT = 500 N·m
τmax = MPa
7.축 응력과 변형률보통
황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 20 kNd = 30 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 70 kN구간 1: Ø30 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
5 kg 질량이 강성 12 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 100 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 5 kgk = 12 kN/mc = 100 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
40 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 12 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 40 kgk1 = 100 kN/mk2 = 12 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: P = 0.9425 kW
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 속도
v = 3.77 m/s
전력
P = (500 − 250)·3.77 = 942.5 W = 0.9425 kW
답
P = 0.9425 kW
2.기어와 기어열
답: nr = 225 rpm
유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.
링 기어 잇수
Nr = Ns + 2·Np = 16 + 2·24 = 64
캐리어 고정일 때의 윌리스 식
nc = 0이면 태양 기어가 아이들 기어 역할을 하는 유성 기어를 통해 링을 구동합니다.
nr = −ns·Ns/Nr = −900·16/64 = −225 rpm
|nr| = 225 rpm
답
nr = 225 rpm
링은 태양 기어와 반대 방향으로 돕니다.
3.축의 비틀림
답: φ = 3.593 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
비틀림각
T = 500 N·m = 500000 N·mm
L = 2 m = 2000 mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
φ = TL/(GJ) = 500000·2000/(39000·408885) = 0.06271 rad
φ = 0.06271·180/π = 3.593°
답
φ = 3.593°
4.축의 비틀림
답: τmax = 4.461 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s
T = P/ω = 20000/78.54 = 254.6 N·m
극관성 모멘트
J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2.141 × 10⁶ mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 254648·37.5/2.141 × 10⁶ = 4.461 MPa
답
τmax = 4.461 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 61.85 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((130 − 100)/2)² + 60²) = 61.85 MPa
답
τmax = 61.85 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 237.8 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −170000/(π·25²/4) = −170000/490.9 = −346.3 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa
모어 원
C = σ/2 = −173.2 MPa
R = √((−173.2)² + 163²) = 237.8 MPa
답
τmax = 237.8 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 282.9 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 20·1000/706.9 = 28.29 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 28.29/100000 = 0.0002829 = 282.9 µε
답
ε = 282.9 µε
8.축 응력과 변형률
답: δ = 3.319 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 99.03 MPa
σ2 = 222.8 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 99.03·1000/70000 = 1.415 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222.8·1000/117000 = 1.904 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.319 mm
답
δ = 3.319 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 48.83 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·1500 = 750 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/750² = 48835 N = 48.83 kN
답
Pcr = 48.83 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 8.567 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 490.9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm
KL = 1·3000 = 3000 mm
KL/r = 3000/6.25 = 480
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa
답
σcr = 8.567 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.2041
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(12000·5) = 489.9 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 100/489.9 = 0.2041
답
ζ = 0.2041
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 8.422 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 100 + 12 = 112 kN/m
고유 진동수
ωn = √(112000/40) = 52.92 rad/s
fn = 52.92/(2π) = 8.422 Hz
답
fn = 8.422 Hz
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