기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1440 rpm으로 도는 22 kW 모터가 잇수 16개, 모듈 5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 F_t을(를) 구하시오.

P = 22 kWn = 1440 rpmN₁ = 16m = 5 mm

F_t = N

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 30개)를 구동한다. 기어 C(잇수 72개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1440 rpmA = 15B = 30C = 72D = 80

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 30 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 1500 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 500 N·mAB = 0.8 mBC = 2.5 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = −80 MPaσ_y = −50 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 25 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 400 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø25 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 250 MPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 250 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 100 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 20 kN/m인 스프링에 달린 8 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 8 kgk = 20 kN/mζ = 0.3

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 20 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 80 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: F_t = 3647 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 22000/150.8 = 145.9 N·m

피치원 지름

d = m·N = 5·16 = 80 mm

접선력

F_t = 2T/d = 2·145.9/0.08 = 3647 N

답

F_t = 3647 N

2.기어와 기어열

답: n_out = 648 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 1440·15/30 = 720 rpm = n_C

2단

n_out = 720·72/80 = 648 rpm

답

n_out = 648 rpm

전체 기어비 = 2.222 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 1.801 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2000/(80000·79522) = 0.03144 rad

φ = 0.03144·180/π = 1.801°

답

φ = 1.801°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 81.49 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 1500 = 2000 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 2000 N·m

τ_max = 16·2 × 10⁶/(π·50³) = 81.49 MPa

답

τ_max = 81.49 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 50.25 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((60 − 70)/2)² + −50²) = 50.25 MPa

답

τ_max = 50.25 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = −95.77 MPa

변환 식

σ_θ = −65 + −15·0.766 + −30·0.6428 = −95.77 MPa

답

σ_θ = −95.77 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 84.37 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 490.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·490.9) = 4.074 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1.852 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/5.926 × 10⁻⁶ = 84369 N = 84.37 kN

답

P = 84.37 kN

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 631.2 kN

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·5027 = 6.943 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00125, 0.0009091) = 0.0009091 (청동)

최대 하중

P_max = 0.0009091·6.943 × 10⁸ = 631175 N = 631.2 kN

답

P_max = 631.2 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.004 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·19175/2100² = 3004 N = 3.004 kN

답

P_cr = 3.004 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 69.42 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·100000 = 250000 N

KL = 2·1500 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 69.42 mm

답

d = 69.42 mm

확인: 세장비 KL/r는 172.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 7.591 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(20000/8) = 50 rad/s

f_n = 50/(2π) = 7.958 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 7.958·√(1 − 0.3²) = 7.591 Hz

답

f_d = 7.591 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 6.366 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/80 → k_eq = 20·80/(20 + 80) = 16 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(16000/10) = 40 rad/s

f_n = 40/(2π) = 6.366 Hz

답

f_n = 6.366 Hz

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