기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 160 mm 구동 풀리 위를 720 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 1500 N, 이완측 375 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 160 mmn₁ = 720 rpmT₁ = 1500 NT₂ = 375 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

2900 rpm의 5.5 kW 모터가 기어 A(잇수 20개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 25개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 18개)는 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 98%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWn_in = 2900 rpmA = 20B = 25C = 18D = 80η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

길이 0.5 m인 속이 찬 강철 축이 토크 1000 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 3°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 1000 N·mL = 0.5 mG = 80 GPaφ_allow = 3°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 750 rpm에서 75 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 75 kWN = 750 rpmd_o = 50 mmd_i = 30 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −40 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = −40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = 160 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 85 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 117 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 120 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 5 kN/m인 스프링에 달린 8 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 8 kgk = 5 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

5 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 60 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 80 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 5 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 80 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 6.786 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 6.032 m/s

전력

P = (1500 − 375)·6.032 = 6786 W = 6.786 kW

답

P = 6.786 kW

2.기어와 기어열

답: T_out = 96.63 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 2900·(20/25)·(18/80) = 522 rpm

ω_out = 2π·522/60 = 54.66 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 5500·0.98² = 5282 W

T_out = P_out/ω_out = 5282/54.66 = 96.63 N·m

답

T_out = 96.63 N·m

3.축의 비틀림

답: d = 33.21 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0.5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = 3·π/180 = 0.05236 rad

J = TL/(Gφ) = 1 × 10⁶·500/(80000·0.05236) = 119366 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 33.21 mm

답

d = 33.21 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 44.7 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78.54 rad/s

T = P/ω = 75000/78.54 = 954.9 N·m

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 954930·25/534071 = 44.7 MPa

답

τ_max = 44.7 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 73.15 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·10, −40 − −10) = 146.3°

요소에서의 각도

θ_p = 73.15°

답

θ_p = 73.15°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 1.276

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 60 MPa, R = 107.7 MPa

σ₁ = 167.7 MPa, σ₂ = −47.7 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(167.7² − 167.7·(−47.7) + (−47.7)²) = 196 MPa

n = 250/196 = 1.276

답

n = 1.276

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: ε = 6424 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 85·1000/113.1 = 751.6 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 751.6/117000 = 0.006424 = 6424 µε

답

ε = 6424 µε

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 572 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·9346 = 1.373 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.0004167) = 0.0004167 (구리)

최대 하중

P_max = 0.0004167·1.373 × 10⁹ = 572032 N = 572 kN

답

P_max = 572 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.052 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·6000 = 12000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/12000² = 3052 N = 3.052 kN

답

P_cr = 3.052 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 6.94 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/7.5 = 533.3

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533.3² = 6.94 MPa

답

σ_cr = 6.94 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 2.841 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(5000/8) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3.979 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.979·√(1 − 0.7²) = 2.841 Hz

답

f_d = 2.841 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 13.18 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/60 + 1/80 → k_eq = 60·80/(60 + 80) = 34.29 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(34286/5) = 82.81 rad/s

f_n = 82.81/(2π) = 13.18 Hz

답

f_n = 13.18 Hz

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