기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 160 mmd2​ = 315 mm2880 rpmn2​ = ?

160 mm 풀리가 2880 rpm으로 돌며 미끄러짐 4 %인 벨트로 315 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.

n1 = 2880 rpmd1 = 160 mmd2 = 315 mms = 4 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
A = 24B = 50C = 25D = 40

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 24개)가 960 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 50개)를 구동한다. 기어 C(잇수 25개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 40개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.

nin = 960 rpmA = 24B = 50C = 25D = 40
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
T = 100 N·md = 30 mmL = 1.2 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 1000 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 1000 rpmτallow = 40 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 110σy​ = 110τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 110 MPaσy = 110 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 110σy​ = 60τxy​ = −20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 25° 회전한 면의 전단 응력 τθ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σx = 110 MPaσy = 60 MPaτxy = −20 MPaθ = 25°
τθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 25 mm황동1.5 mP = 50 kN

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kNd = 25 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm알루미늄0.5 mØ 20 mm황동1 mP = 30 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 30 kN구간 1: Ø25 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2.5 m30 × 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 4 md = 60 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 200 kN/mc = 890 N·s/mm = 100 kg

100 kg 질량이 강성 200 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 890 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 100 kgk = 200 kN/mc = 890 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 40k2​ = 40m = 50 kg

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 40 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 40 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: n2 = 1404 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

2880·160/315 = 1463 rpm

미끄러짐이 있을 때

n2 = 1463·0.96 = 1404 rpm

답

n2 = 1404 rpm
2.기어와 기어열

답: nout = 288 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

nB = 960·24/50 = 460.8 rpm = nC

2단

nout = 460.8·25/40 = 288 rpm

답

nout = 288 rpm

전체 기어비 = 3.333 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 1.081 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(80000·79522) = 0.01886 rad
φ = 0.01886·180/π = 1.081°

답

φ = 1.081°
4.축의 비틀림

답: d = 26.32 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 15000/104.7 = 143.2 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·143239/(π·40)) = 26.32 mm

답

d = 26.32 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 30 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

σxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((110 − 110)/2)² + 30²) = 30 MPa

답

τmax = 30 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: τθ = −32.01 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τθ = −25·0.766 + −20·0.6428 = −32.01 MPa

답

τθ = −32.01 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 1.528 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 50·1000/490.9 = 101.9 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 101.9/100000 = 0.001019 = 1019 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.001019·1500 mm = 1.528 mm

답

δ = 1.528 mm
8.축 응력과 변형률

답: δ = 1.391 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 61.12 MPa
σ2 = 95.49 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 61.12·500/70000 = 0.4365 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 95.49·1000/100000 = 0.9549 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.391 mm

답

δ = 1.391 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 8.883 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·2500 = 5000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/5000² = 8883 N = 8.883 kN

답

Pcr = 8.883 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 111 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
KL/r = 2000/15 = 133.3

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133.3² = 111 MPa

답

σcr = 111 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.09951

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·100) = 8944 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 890/8944 = 0.09951

답

ζ = 0.09951

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: keq = 20 kN/m

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/40 + 1/40 → keq = 40·40/(40 + 40) = 20 kN/m

답

keq = 20 kN/m

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