기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1500 rpm으로 도는 11 kW 모터가 잇수 45개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 48개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 11 kWn₁ = 1500 rpmN₁ = 45N₂ = 48η = 95%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 15개, 각 유성 기어의 잇수는 12개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 600 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 15N_p = 12n_s = 600 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 12 mm인 속이 찬 시편에 토크 75 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 400 mm의 양 끝이 서로 10.55° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 75 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 10.55°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.5 m 떨어진 B에 토크 750 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 1500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 60 mmT_B = 750 N·mT_C = 1500 N·mAB = 0.5 mBC = 2.5 mG = 26 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 20° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σ_y′을(를) 구하시오.

σ_x = 70 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −40 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = −40 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 115 kNd = 30 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 85 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 100 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 5주기 뒤에 최댓값 8.5 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 30 mmx₅ = 8.5 mmn = 5

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 12 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 5 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 5 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 70.96 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 11000/157.1 = 70.03 N·m

출력 토크

T₂ = 70.03·48/45·0.95 = 70.96 N·m

답

T₂ = 70.96 N·m

2.기어와 기어열

답: n_c = 166.7 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·12 = 39

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −39/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·15/54 = 166.7 rpm

답

n_c = 166.7 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: G = 80.03 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴

φ = 10.55·π/180 = 0.1841 rad

전단 탄성 계수

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·400/(2036·0.1841) = 80033 MPa

G = 80.03 GPa

답

G = 80.03 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: φ_C = 8.443 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 1500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1500 + 750 = 2250 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 2.25 × 10⁶·500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.03401 rad

φ_BC = 1.5 × 10⁶·2500/(26000·1.272 × 10⁶) = 0.1134 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.03401 + 0.1134 = 0.1474 rad → |φ_C| = 8.443°

답

φ_C = 8.443°

5.모어 원과 응력 변환

답: σ_y′ = 57.92 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σ_y′ = 85 − (−15)·0.766 − 60·0.6428 = 57.92 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σ_x′ = 112.1 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 170 = σ_x + σ_y

답

σ_y′ = 57.92 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.21

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 0 MPa, R = 56.57 MPa

σ₁ = 56.57 MPa, σ₂ = −56.57 MPa, σ₃ = 0

트레스카

σ_max − σ_min = 113.1 MPa

n = 250/113.1 = 2.21

답

n = 2.21

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 2.324 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 115·1000/706.9 = 162.7 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 162.7/70000 = 0.002324 = 2324 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.002324·1000 mm = 2.324 mm

답

δ = 2.324 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 270.6 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 173.2 MPa

σ₂ = 270.6 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 270.6 MPa

답

σ_max = 270.6 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 28.56 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·130208/3000² = 28558 N = 28.56 kN

답

P_cr = 28.56 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 126.3 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126.3 MPa

답

σ_cr = 126.3 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.04011

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/5)·ln(30/8.5) = 0.2522

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2522/√(39.48 + 0.06362) = 0.04011

답

ζ = 0.04011

12.기계 진동

답: f_n = 1.337 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/5 → k_eq = 12·5/(12 + 5) = 3.529 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(3529/50) = 8.402 rad/s

f_n = 8.402/(2π) = 1.337 Hz

답

f_n = 1.337 Hz

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