기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1440 rpm으로 도는 1.5 kW 모터가 잇수 15개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 72개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
P = 1.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 15N2 = 72η = 95%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 18개)가 960 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 48개)를 구동한다. 기어 C(잇수 25개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 32개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 960 rpmA = 18B = 48C = 25D = 32
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 2 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 1.5 m이다. 자유단 C에 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
T = 250 N·md1 = 60 mm, L1 = 2 md2 = 25 mm, L2 = 1.5 m
τmax = MPa
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 축이 1000 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 20 kWN = 1000 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = 120 MPaσy = 20 MPaτxy = 30 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 30 MPa, σᵧ = −60 MPa, τₓᵧ = 40 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 355 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.
σx = 30 MPaσy = −60 MPaτxy = 40 MPaσY = 355 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 65 kNd = 20 mmL = 2 mE = 117 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 25 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 120 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 60 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø30 mm, 300 mm, E = 120 GPaP = 60 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 5 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 110 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 110 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 20 mm 다음 5주기 뒤에 최댓값 7.8 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 20 mmx5 = 7.8 mmn = 5
ζ =
12.기계 진동어려움
10 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 12 kN/m, k₂ = 50 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 10 kgk1 = 12 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T1 = 9.947 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/150.8 = 9.947 N·m
답
T1 = 9.947 N·m
2.기어와 기어열
답: nout = 281.3 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 960·18/48 = 360 rpm = nC
2단
nout = 360·25/32 = 281.3 rpm
답
nout = 281.3 rpm
전체 기어비 = 3.413 : 1
3.축의 비틀림
답: τmax = 81.49 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
각 구간의 응력
T = 250 N·m = 250000 N·mm
τAB = 16·250000/(π·60³) = 5.895 MPa
τBC = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
답
τmax = 81.49 MPa
4.축의 비틀림
답: d = 22.99 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 20000/104.7 = 191 N·m
허용 응력에서 지름 구하기
d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·190986/(π·80)) = 22.99 mm
답
d = 22.99 mm
실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: θs = −29.52 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = 30/58.31 = 0.5145, sin 2θs = −50/58.31 = −0.8575
2θs = atan2(−50, 30) = −59.04°
요소에서의 각도
θs = −29.52°
검산: θs − θp = −29.52 − 15.48 = −45°
답
θs = −29.52°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: n = 2.948
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = −15 MPa, R = 60.21 MPa
σ1 = 45.21 MPa, σ2 = −75.21 MPa, σ3 = 0
트레스카
σmax − σmin = 120.4 MPa
n = 355/120.4 = 2.948
답
n = 2.948
n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.
7.축 응력과 변형률
답: δ = 3.537 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 65·1000/314.2 = 206.9 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 206.9/117000 = 0.001768 = 1768 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.001768·2000 mm = 3.537 mm
답
δ = 3.537 mm
8.축 응력과 변형률
답: σ2 = 39.34 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·490.9/300 = 327249 N/mm
k₂ = 120000·706.9/300 = 282743 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 60000·282743/609993 = 27811 N
응력
σ2 = 27811/706.9 = 39.34 MPa (압축)
답
σ2 = 39.34 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 324 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·5000 = 3500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN
답
Pcr = 324 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 100.5 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·110000 = 275000 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·275000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 100.5 mm
답
d = 100.5 mm
확인: 세장비 KL/r는 238.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.02996
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/5)·ln(20/7.8) = 0.1883
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.1883/√(39.48 + 0.03547) = 0.02996
답
ζ = 0.02996
12.기계 진동
답: fn = 12.53 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 12 + 50 = 62 kN/m
고유 진동수
ωn = √(62000/10) = 78.74 rad/s
fn = 78.74/(2π) = 12.53 Hz
답
fn = 12.53 Hz
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