기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
두 평행축이 180 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 3 mm, 감속비 5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N2은(는) 몇 개여야 하는가?
a = 180 mmm = 3 mmi = 5
N2 =
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 24개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 30개)를 구동한다. 기어 C(잇수 32개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 1440 rpmA = 24B = 30C = 32D = 80
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 250 N·md = 25 mmL = 1.2 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
중공축이 1000 rpm에서 5 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
P = 5 kWN = 1000 rpmdi/do = 0.6τallow = 50 MPa
do = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −30 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.
σx = −30 MPaσy = 40 MPaτxy = −50 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
안지름 1000 mm, 벽 두께 10 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 35°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τn|을(를) 구하시오.
D = 1000 mmt = 10 mmp = 2 MPaα = 35°
|τn| = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.
P = 300 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 800 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 25 kN구간 1: Ø35 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kNn = 2.5L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 150 kN/m인 스프링에 달린 5 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 5 kgk = 150 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 5 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 25 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 5 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: N2 = 100
기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.
총 잇수
N1 + N2 = 2a/m = 2·180/3 = 120
비율로 나누기
N1 = 120/(1 + 5) = 20
N2 = 5·20 = 100
답
N2 = 100
2.기어와 기어열
답: nout = 460.8 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 1440·24/30 = 1152 rpm = nC
2단
nout = 1152·32/80 = 460.8 rpm
답
nout = 460.8 rpm
전체 기어비 = 3.125 : 1
3.축의 비틀림
답: φ = 5.603 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 250·1000·1200/(80000·38350) = 0.09778 rad
φ = 0.09778·180/π = 5.603°
답
φ = 5.603°
4.축의 비틀림
답: do = 17.74 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 5000/104.7 = 47.75 N·m
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 47.75 N·m = 47746 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·50·0.8704)) = 17.74 mm
di = 0.6·17.74 = 10.65 mm
답
do = 17.74 mm
속이 찬 축이라면 d = 16.94 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: θp = −62.5 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.
2θp = atan2(2·−50, −30 − 40) = −125°
요소에서의 각도
θp = −62.5°
답
θp = −62.5°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: |τn| = 23.49 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σh = pr/t, 축 응력 σa = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.
벽의 응력
r = 1000/2 = 500 mm
σh = pr/t = 2·500/10 = 100 MPa
σa = pr/(2t) = 50 MPa
이음매 방향으로 변환
x를 축 방향(σa), y를 원주 방향(σh)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.
|τn| = (100 − 50)·sin 35°·cos 35° = 23.49 MPa
답
|τn| = 23.49 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 0.5093 mm
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·2199 = 4.712 × 10⁸ N
줄어든 길이
δ = 300000·800/4.712 × 10⁸ = 0.5093 mm
답
δ = 0.5093 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 124.3 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 25.98 MPa
σ2 = 124.3 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 124.3 MPa
답
σmax = 124.3 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 23.99 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·1500 = 1500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/1500² = 23989 N = 23.99 kN
답
Pcr = 23.99 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 33.16 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·30000 = 75000 N
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·75000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 33.16 mm
답
d = 33.16 mm
확인: 세장비 KL/r는 150.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 26.3 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(150000/5) = 173.2 rad/s
fn = 173.2/(2π) = 27.57 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 27.57·√(1 − 0.3²) = 26.3 Hz
답
fd = 26.3 Hz
12.기계 진동
답: fn = 2.055 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/5 + 1/25 → keq = 5·25/(5 + 25) = 4.167 kN/m
고유 진동수
ωn = √(4167/25) = 12.91 rad/s
fn = 12.91/(2π) = 2.055 Hz
답
fn = 2.055 Hz
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