기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

125 mm 풀리가 720 rpm으로 돌며 미끄러짐 2 %인 벨트로 300 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 720 rpmd₁ = 125 mmd₂ = 300 mms = 2 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 25개)가 2900 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 32개)를 구동한다. 기어 C(잇수 18개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 32개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 2900 rpmA = 25B = 32C = 18D = 32

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 100 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 7.39° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 100 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 7.39°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 500 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 80 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −20 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 130 MPaσ_y = 20 MPaτ_xy = −20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 800 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 0.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 25°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 800 mmt = 8 mmp = 0.5 MPaα = 25°

|τ_n| = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 45 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 95 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 15 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 0.9 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 15 mmx₃ = 0.9 mmn = 3

ζ =

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 스프링 k₃ = 10 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 100 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 10 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 294 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

720·125/300 = 300 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 300·0.98 = 294 rpm

답

n₂ = 294 rpm

2.기어와 기어열

답: n_out = 1274 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 2900·25/32 = 2266 rpm = n_C

2단

n_out = 2266·18/32 = 1274 rpm

답

n_out = 1274 rpm

전체 기어비 = 2.276 : 1

3.축의 비틀림

답: G = 39 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 7.39·π/180 = 0.129 rad

전단 탄성 계수

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 100000·250/(4970·0.129) = 38999 MPa

G = 39 GPa

답

G = 39 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: d = 39.32 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·954930/(π·80)) = 39.32 mm

답

d = 39.32 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 66.76 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 75 MPa, R = √(55² + (−20)²) = 58.52 MPa

σ₁ = 133.5 MPa, σ₂ = 16.48 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(117, 133.5, 16.48)/2 = 66.76 MPa

답

τ_abs = 66.76 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 4.788 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0.5·400/8 = 25 MPa

σ_a = pr/(2t) = 12.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (25 − 12.5)·sin 25°·cos 25° = 4.788 MPa

답

|τ_n| = 4.788 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 716.2 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 45·1000/314.2 = 143.2 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 143.2/200000 = 0.0007162 = 716.2 µε

답

ε = 716.2 µε

8.축 응력과 변형률

답: δ = 4.428 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 75.6 MPa

σ₂ = 302.4 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 75.6·2000/70000 = 2.16 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 302.4·1500/200000 = 2.268 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4.428 mm

답

δ = 4.428 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 5.888 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/6000² = 5888 N = 5.888 kN

답

P_cr = 5.888 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 49.35 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·1000 = 2000 mm

KL/r = 2000/10 = 200

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49.35 MPa

답

σ_cr = 49.35 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.1476

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/3)·ln(15/0.9) = 0.9378

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9378/√(39.48 + 0.8795) = 0.1476

답

ζ = 0.1476

12.기계 진동

답: f_n = 3.042 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 5 + 100 = 105 kN/m

k_eq = 105·10/(105 + 10) = 9.13 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(9130/25) = 19.11 rad/s

f_n = 19.11/(2π) = 3.042 Hz

답

f_n = 3.042 Hz

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