기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1440 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 30개, 모듈 5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 F_t을(를) 구하시오.

P = 5.5 kWn = 1440 rpmN₁ = 30m = 5 mm

F_t = N

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 30개, 각 유성 기어의 잇수는 20개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 600 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 30N_p = 20n_s = 600 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

중공축이 1800 rpm에서 10 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.7배로 하고, 전단 응력은 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 10 kWN = 1800 rpmd_i/d_o = 0.7τ_allow = 60 MPa

d_o = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 20 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 20 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 60 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 80 kN와(과) 토크 1500 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 60 mmF = 80 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 500 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø50 mm, 500 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 160 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa, 허용응력 80 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 80 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 50 kN/m인 스프링에 달린 80 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 80 kgk = 50 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 12 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: F_t = 486.3 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T = P/ω = 5500/150.8 = 36.47 N·m

피치원 지름

d = m·N = 5·30 = 150 mm

접선력

F_t = 2T/d = 2·36.47/0.15 = 486.3 N

답

F_t = 486.3 N

2.기어와 기어열

답: n_c = 180 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 30 + 2·20 = 70

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −70/30

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·30/100 = 180 rpm

답

n_c = 180 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φ = 18.39 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(26000·38350) = 0.3209 rad

φ = 0.3209·180/π = 18.39°

답

φ = 18.39°

4.축의 비틀림

답: d_o = 18.1 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s

T = P/ω = 10000/188.5 = 53.05 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 53.05 N·m = 53052 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.7⁴ = 0.7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·53052/(π·60·0.7599)) = 18.1 mm

d_i = 0.7·18.1 = 12.67 mm

답

d_o = 18.1 mm

속이 찬 축이라면 d = 16.51 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 32.81 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 45 MPa, R = √((−5)² + 20²) = 20.62 MPa

σ₁ = 65.62 MPa, σ₂ = 24.38 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(41.23, 65.62, 24.38)/2 = 32.81 MPa

답

τ_abs = 32.81 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 52.24 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

표면의 응력

σ = F/A = 80000/(π·60²/4) = 80000/2827 = 28.29 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·60³) = 35.37 MPa

모어 원

C = σ/2 = 14.15 MPa

R = √(14.15² + 35.37²) = 38.09 MPa

σ₁ = C + R = 52.24 MPa

σ₂ = C − R = −23.95 MPa

답

σ₁ = 52.24 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 75.4 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1.194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(120000·1963) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.25/3.316 × 10⁻⁶ = 75398 N = 75.4 kN

답

P = 75.4 kN

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 289 kN

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·2199 = 3.613 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0008, 0.0008) = 0.0008 (황동)

최대 하중

P_max = 0.0008·3.613 × 10⁸ = 289027 N = 289 kN

답

P_max = 289 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 109.9 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1000 = 2000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2000² = 109878 N = 109.9 kN

답

P_cr = 109.9 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 197.4 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/12.5 = 100

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/100² = 197.4 MPa

답

σ_cr = 197.4 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 3.183 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(50000/80) = 25 rad/s

f_n = 25/(2π) = 3.979 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.979·√(1 − 0.6²) = 3.183 Hz

답

f_d = 3.183 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 17 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 12 = 17 kN/m

답

k_eq = 17 kN/m

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