기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1440 rpm으로 도는 1.5 kW 모터가 잇수 12개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 16개인 기어와 맞물려 있다. 손실은 무시한다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
P = 1.5 kWn1 = 1440 rpmN1 = 12N2 = 16η = 100%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 1450 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 45개)를 구동한다. 기어 C(잇수 48개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 1450 rpmA = 15B = 45C = 48D = 80
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 0.8 m이고, 구간 BC는 지름 50 mm, 길이 1.2 m이다. 자유단 C에 토크 1000 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
T = 1000 N·md1 = 60 mm, L1 = 0.8 md2 = 50 mm, L2 = 1.2 m
τmax = MPa
4.축의 비틀림어려움
속이 빈 축이 1500 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
P = 10 kWN = 1500 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa이다. 최대 주응력이 140 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?
σx = 120 MPaσy = 50 MPaσ1 = 140 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 20 MPa, σᵧ = −80 MPa, τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.
σx = 20 MPaσy = −80 MPaτxy = −20 MPa
σvM = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 100 kNd = 25 mmL = 0.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 95 kN구간 1: Ø30 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 110 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 110 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 100 kN/m인 스프링에 달린 200 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 200 kgk = 100 kN/mζ = 0.7
fd = Hz
12.기계 진동어려움
40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 20 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 50 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 40 kgk1 = 20 kN/mk2 = 50 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T1 = 9.947 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1500/150.8 = 9.947 N·m
답
T1 = 9.947 N·m
2.기어와 기어열
답: nout = 290 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 1450·15/45 = 483.3 rpm = nC
2단
nout = 483.3·48/80 = 290 rpm
답
nout = 290 rpm
전체 기어비 = 5 : 1
3.축의 비틀림
답: τmax = 40.74 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
각 구간의 응력
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
τAB = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23.58 MPa
τBC = 16·1 × 10⁶/(π·50³) = 40.74 MPa
답
τmax = 40.74 MPa
4.축의 비틀림
답: τmax = 6.667 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T = P/ω = 10000/157.1 = 63.66 N·m
극관성 모멘트
J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴
최대 전단 응력
τmax = T·(do/2)/J = 63662·20/190984 = 6.667 MPa
답
τmax = 6.667 MPa
5.모어 원과 응력 변환
답: τxy = 42.43 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
필요한 반지름
C = (120 + 50)/2 = 85 MPa
R = σ1 − C = 140 − 85 = 55 MPa
전단 응력
τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(55² − 35²) = 42.43 MPa
답
τxy = 42.43 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σvM = 97.98 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.
주응력
C = −30 MPa, R = 53.85 MPa
σ1 = 23.85 MPa, σ2 = −83.85 MPa, σ3 = 0
폰 미제스
σvM = √(23.85² − 23.85·(−83.85) + (−83.85)²) = 97.98 MPa
답
σvM = 97.98 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 1.019 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·25²/4 = 490.9 mm²
σ = P/A = 100·1000/490.9 = 203.7 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 203.7/100000 = 0.002037 = 2037 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.002037·500 mm = 1.019 mm
답
δ = 1.019 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 302.4 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 134.4 MPa
σ2 = 302.4 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 302.4 MPa
답
σmax = 302.4 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 5.622 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·25³/12 = 130208 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·4000 = 4000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·130208/4000² = 5622 N = 5.622 kN
답
Pcr = 5.622 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 79.8 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·110000 = 220000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 79.8 mm
답
d = 79.8 mm
확인: 세장비 KL/r는 125.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 2.542 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(100000/200) = 22.36 rad/s
fn = 22.36/(2π) = 3.559 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.7²) = 2.542 Hz
답
fd = 2.542 Hz
12.기계 진동
답: fn = 3.008 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/20 + 1/50 → keq = 20·50/(20 + 50) = 14.29 kN/m
고유 진동수
ωn = √(14286/40) = 18.9 rad/s
fn = 18.9/(2π) = 3.008 Hz
답
fn = 3.008 Hz
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