기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

150 mm 풀리가 2880 rpm으로 돌며 미끄러짐 1 %인 벨트로 315 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 2880 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 315 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 48개)가 2900 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 50개)를 구동한다. 기어 C(잇수 18개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 36개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 2900 rpmA = 48B = 50C = 18D = 36

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

중공축이 토크 750 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.75배로 하고, 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

T = 750 N·md_i/d_o = 0.75τ_allow = 80 MPa

d_o = mm

4.축의 비틀림어려움

지름 50 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 750 N·m이(가), 거기서 0.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 50 mmT_B = 750 N·mT_C = 200 N·mAB = 0.8 mBC = 0.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 30 MPa이다. 최대 주응력이 70 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 30 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 70 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 40 MPa, σᵧ = −10 MPa, τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 95 kNd = 20 mmL = 0.5 mE = 200 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 25 kN구간 1: Ø25 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 85 kNn = 2L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 100 kN/m인 스프링에 달린 8 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 8 kgk = 100 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 20 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 40 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 20 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 1358 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

2880·150/315 = 1371 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 1371·0.99 = 1358 rpm

답

n₂ = 1358 rpm

2.기어와 기어열

답: n_out = 1392 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 2900·48/50 = 2784 rpm = n_C

2단

n_out = 2784·18/36 = 1392 rpm

답

n_out = 1392 rpm

전체 기어비 = 2.083 : 1

3.축의 비틀림

답: d_o = 41.18 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 750 N·m = 750000 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.75⁴ = 0.6836

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·750000/(π·80·0.6836)) = 41.18 mm

d_i = 0.75·41.18 = 30.89 mm

답

d_o = 41.18 mm

속이 찬 축이라면 d = 36.28 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: φ_C = 1.004 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 750 = 950 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 950000·800/(80000·613592) = 0.01548 rad

φ_BC = 200000·500/(80000·613592) = 0.002037 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.01548 + 0.002037 = 0.01752 rad → |φ_C| = 1.004°

답

φ_C = 1.004°

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 40 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (30 + 30)/2 = 30 MPa

R = σ₁ − C = 70 − 30 = 40 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(40² − 0²) = 40 MPa

답

τ_xy = 40 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 113.6 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 15 MPa, R = 65 MPa

σ₁ = 80 MPa, σ₂ = −50 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(80² − 80·(−50) + (−50)²) = 113.6 MPa

답

σ_vM = 113.6 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 1512 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ = P/A = 95·1000/314.2 = 302.4 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 302.4/200000 = 0.001512 = 1512 µε

답

ε = 1512 µε

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 79.58 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 50.93 MPa

σ₂ = 79.58 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 79.58 MPa

답

σ_max = 79.58 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 8.583 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/2100² = 8583 N = 8.583 kN

답

P_cr = 8.583 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 37.29 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·85000 = 170000 N

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·170000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 37.29 mm

답

d = 37.29 mm

확인: 세장비 KL/r는 112.6이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 12.71 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(100000/8) = 111.8 rad/s

f_n = 111.8/(2π) = 17.79 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 17.79·√(1 − 0.7²) = 12.71 Hz

답

f_d = 12.71 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 3.676 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/20 + 1/40 → k_eq = 20·40/(20 + 40) = 13.33 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(13333/25) = 23.09 rad/s

f_n = 23.09/(2π) = 3.676 Hz

답

f_n = 3.676 Hz

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