기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 150 mmd2​ = 250 mm1440 rpmT1​ = 600 NT2​ = 150 NP = ?

벨트가 150 mm 구동 풀리 위를 1440 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 600 N, 이완측 150 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 150 mmn1 = 1440 rpmT1 = 600 NT2 = 150 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
A = 12B = 25C = 16D = 32

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 1450 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 25개)를 구동한다. 기어 C(잇수 16개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 32개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.

nin = 1450 rpmA = 12B = 25C = 16D = 32
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
T = 400 N·md = 50 mmL = 2.5 mφ = ?

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 50 mmL = 2.5 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 40 mm, di​ = 28 mm

속이 빈 축이 1450 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 1450 rpmdo = 40 mmdi = 28 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −10σy​ = 40τxy​ = 40MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = −10 MPaσy = 40 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −80σy​ = −20τxy​ = −20MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = −20 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 시계 방향으로 30° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = −80 MPaσy = −20 MPaτxy = −20 MPaθ = -30°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 10 mm알루미늄2 mP = 45 kN

알루미늄 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 45 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 35 mm구리0.5 mØ 16 mm황동0.5 mP = 100 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 100 kN구간 1: Ø35 mm, 0.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1 m30 × 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 20 kNL = 2 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 20 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 100 kN/mζ = 0.35m = 12 kg

강성 100 kN/m인 스프링에 달린 12 kg 질량에 감쇠비 0.35을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 12 kgk = 100 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.기계 진동어려움
k1​ = 100k2​ = 60k3​ = 80m = 20 kg

20 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 60 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk1 = 100 kN/mk2 = 60 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 5.089 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 11.31 m/s

전력

P = (600 − 150)·11.31 = 5089 W = 5.089 kW

답

P = 5.089 kW
2.기어와 기어열

답: nout = 348 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

nB = 1450·12/25 = 696 rpm = nC

2단

nout = 696·16/32 = 348 rpm

답

nout = 348 rpm

전체 기어비 = 4.167 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 3.591 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·2500/(26000·613592) = 0.06268 rad
φ = 0.06268·180/π = 3.591°

답

φ = 3.591°
4.축의 비틀림

답: τmax = 34.48 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s
T = P/ω = 50000/151.8 = 329.3 N·m

극관성 모멘트

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 329286·20/190984 = 34.48 MPa

답

τmax = 34.48 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 47.17 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((−10 − 40)/2)² + 40²) = 47.17 MPa

답

τmax = 47.17 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σθ = −47.68 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = −50 + −30·0.5 + −20·−0.866 = −47.68 MPa

답

σθ = −47.68 MPa
7.축 응력과 변형률

답: ε = 8185 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 45·1000/78.54 = 573 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 573/70000 = 0.008185 = 8185 µε

답

ε = 8185 µε
8.축 응력과 변형률

답: σmax = 497.4 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 103.9 MPa
σ2 = 497.4 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 497.4 MPa

답

σmax = 497.4 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 88.83 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·1000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2000² = 88826 N = 88.83 kN

답

Pcr = 88.83 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 35.85 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·20000 = 40000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·40000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 35.85 mm

답

d = 35.85 mm

확인: 세장비 KL/r는 223.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: fd = 13.61 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ωn = √(100000/12) = 91.29 rad/s
fn = 91.29/(2π) = 14.53 Hz

감쇠 고유 진동수

fd = fn·√(1 − ζ²) = 14.53·√(1 − 0.35²) = 13.61 Hz

답

fd = 13.61 Hz
12.기계 진동

답: fn = 8.219 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 100 + 60 = 160 kN/m
keq = 160·80/(160 + 80) = 53.33 kN/m

고유 진동수

ωn = √(53333/20) = 51.64 rad/s
fn = 51.64/(2π) = 8.219 Hz

답

fn = 8.219 Hz

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