기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1440 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 16개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 72개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 1.1 kWn₁ = 1440 rpmN₁ = 16N₂ = 72η = 98%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

960 rpm의 2.2 kW 모터가 기어 A(잇수 25개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 32개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 18개)는 출력축의 기어 D(잇수 50개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 96%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 2.2 kWn_in = 960 rpmA = 25B = 32C = 18D = 50η_mesh = 96%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

길이 1.2 m인 속이 찬 황동 축이 토크 750 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 750 N·mL = 1.2 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1450 rpm에서 100 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 1450 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 110 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 1200 mm, 벽 두께 5 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 1.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 40°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 1.5 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.3 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 70 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 60 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 60 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 20 kN/m인 스프링에 달린 12 kg 질량에 감쇠비 0.35을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 12 kgk = 20 kN/mζ = 0.35

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 5 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 5 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 32.17 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 1100/150.8 = 7.295 N·m

출력 토크

T₂ = 7.295·72/16·0.98 = 32.17 N·m

답

T₂ = 32.17 N·m

2.기어와 기어열

답: T_out = 71.71 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 960·(25/32)·(18/50) = 270 rpm

ω_out = 2π·270/60 = 28.27 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 2200·0.96² = 2028 W

T_out = P_out/ω_out = 2028/28.27 = 71.71 N·m

답

T_out = 71.71 N·m

3.축의 비틀림

답: d = 50.94 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 750 N·m = 750000 N·mm

L = 1.2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 750000·1200/(39000·0.03491) = 661105 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 50.94 mm

답

d = 50.94 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d = 35.5 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 100000/151.8 = 658.6 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·658572/(π·75)) = 35.5 mm

답

d = 35.5 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 50 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((110 − 110)/2)² + −50²) = 50 MPa

답

τ_max = 50 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 44.32 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1.5·600/5 = 180 MPa

σ_a = pr/(2t) = 90 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (180 − 90)·sin 40°·cos 40° = 44.32 MPa

답

|τ_n| = 44.32 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 95.52 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1.019 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.3/3.141 × 10⁻⁶ = 95521 N = 95.52 kN

답

P = 95.52 kN

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 409.1 kN

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·5027 = 7.014 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.0005833) = 0.0005833 (구리)

최대 하중

P_max = 0.0005833·7.014 × 10⁸ = 409127 N = 409.1 kN

답

P_max = 409.1 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 248.1 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248.1 kN

답

P_cr = 248.1 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 82.55 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·60000 = 180000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 82.55 mm

답

d = 82.55 mm

확인: 세장비 KL/r는 242.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 6.087 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(20000/12) = 40.82 rad/s

f_n = 40.82/(2π) = 6.497 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 6.497·√(1 − 0.35²) = 6.087 Hz

답

f_d = 6.087 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 105 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 5 = 105 kN/m

답

k_eq = 105 kN/m

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