기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1440 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 45개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 50개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 기어 축의 출력 토크 T2을(를) 구하시오.
P = 1.1 kWn1 = 1440 rpmN1 = 45N2 = 50η = 95%
T2 = N·m
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 15개)가 960 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 48개)를 구동한다. 기어 C(잇수 20개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 48개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 960 rpmA = 15B = 48C = 20D = 48
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 50 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 1.4° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 50 N·md = 20 mmL = 200 mmφ = 1.4°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
중공축이 300 rpm에서 10 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
P = 10 kWN = 300 rpmdi/do = 0.5τallow = 40 MPa
do = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 90 MPaσy = 30 MPaτxy = 60 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 60° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 120 MPaσy = 50 MPaτxy = 40 MPaθ = 60°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 115 kNd = 10 mmL = 0.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.
막대: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 150 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σallow = 50 MPa
Pmax = kN
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 85 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 85 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
15 kg 질량이 강성 100 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 730 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 15 kgk = 100 kN/mc = 730 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 40 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 60 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 40 kN/mk2 = 60 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T2 = 7.7 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/150.8 = 7.295 N·m
출력 토크
T2 = 7.295·50/45·0.95 = 7.7 N·m
답
T2 = 7.7 N·m
2.기어와 기어열
답: nout = 125 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 960·15/48 = 300 rpm = nC
2단
nout = 300·20/48 = 125 rpm
답
nout = 125 rpm
전체 기어비 = 7.68 : 1
3.축의 비틀림
답: G = 26.05 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.4·π/180 = 0.02443 rad
전단 탄성 계수
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·200/(15708·0.02443) = 26054 MPa
G = 26.05 GPa
답
G = 26.05 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: do = 35.1 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 10000/31.42 = 318.3 N·m
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 318.3 N·m = 318310 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·318310/(π·40·0.9375)) = 35.1 mm
di = 0.5·35.1 = 17.55 mm
답
do = 35.1 mm
속이 찬 축이라면 d = 34.35 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 67.08 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((90 − 30)/2)² + 60²) = 67.08 MPa
답
τmax = 67.08 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 102.1 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 85 + 35·−0.5 + 40·0.866 = 102.1 MPa
답
σθ = 102.1 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 3.661 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·10²/4 = 78.54 mm²
σ = P/A = 115·1000/78.54 = 1464 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 1464/200000 = 0.007321 = 7321 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.007321·500 mm = 3.661 mm
답
δ = 3.661 mm
8.축 응력과 변형률
답: Pmax = 417.9 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²
합성 축강성
ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·7461 = 5.851 × 10⁸ N
지배 변형률
ε = min(0.00075, 0.0007143) = 0.0007143 (알루미늄)
최대 하중
Pmax = 0.0007143·5.851 × 10⁸ = 417944 N = 417.9 kN
답
Pmax = 417.9 kN
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 158.8 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·2500 = 1250 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1250² = 158752 N = 158.8 kN
답
Pcr = 158.8 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 66.65 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·85000 = 212500 N
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·212500·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 66.65 mm
답
d = 66.65 mm
확인: 세장비 KL/r는 180이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.298
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(100000·15) = 2449 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 730/2449 = 0.298
답
ζ = 0.298
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 4.931 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/40 + 1/60 → keq = 40·60/(40 + 60) = 24 kN/m
고유 진동수
ωn = √(24000/25) = 30.98 rad/s
fn = 30.98/(2π) = 4.931 Hz
답
fn = 4.931 Hz
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