기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm으로 도는 4 kW 모터가 잇수 12개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 50개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 96%이다. 기어 축의 출력 토크 T₂을(를) 구하시오.

P = 4 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 12N₂ = 50η = 96%

T₂ = N·m

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 15개, 각 유성 기어의 잇수는 12개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1200 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 15N_p = 12n_s = 1200 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 50 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 200 mm의 양 끝이 서로 2.96° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 50 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 2.96°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 100 N·m이(가), 거기서 1.5 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 2000 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 60 mmT_B = 100 N·mT_C = 2000 N·mAB = 0.8 mBC = 1.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −50 MPa, σᵧ = 30 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 30 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 30 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 70 kN와(과) 토크 1500 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 30 mmF = 70 kNT = 1500 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 알루미늄으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 70 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 알루미늄, Ø40 mm, 400 mm, E = 70 GPaδ = 0.5 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 50 mm 다음 3주기 뒤에 최댓값 16.1 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 50 mmx₃ = 16.1 mmn = 3

ζ =

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 5 kN/m, k₂ = 15 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 5 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₂ = 105.4 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 4000/151.8 = 26.34 N·m

출력 토크

T₂ = 26.34·50/12·0.96 = 105.4 N·m

답

T₂ = 105.4 N·m

2.기어와 기어열

답: n_c = 333.3 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 15 + 2·12 = 39

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1200 − n_c)/(0 − n_c) = −39/15

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 1200·15/54 = 333.3 rpm

답

n_c = 333.3 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: G = 38.95 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2.96·π/180 = 0.05166 rad

전단 탄성 계수

T = 50 N·m = 50000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 50000·200/(4970·0.05166) = 38946 MPa

G = 38.95 GPa

답

G = 38.95 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: φ_C = 2.634 °

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 2000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 2000 + 100 = 2100 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 2.1 × 10⁶·800/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.0165 rad

φ_BC = 2 × 10⁶·1500/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.02947 rad

끝 C의 비틀림각

φ_C = 0.0165 + 0.02947 = 0.04598 rad → |φ_C| = 2.634°

답

φ_C = 2.634°

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 71.57 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·30, −50 − 30) = 143.1°

요소에서의 각도

θ_p = 71.57°

답

θ_p = 71.57°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 336.8 MPa

표면의 응력

σ = F/A = 70000/(π·30²/4) = 70000/706.9 = 99.03 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·1500000/(π·30³) = 282.9 MPa

모어 원

C = σ/2 = 49.51 MPa

R = √(49.51² + 282.9²) = 287.2 MPa

σ₁ = C + R = 336.8 MPa

σ₂ = C − R = −237.7 MPa

답

σ₁ = 336.8 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 74.97 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 1257 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·706.9) = 2.122 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(70000·1257) = 4.547 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/6.669 × 10⁻⁶ = 74970 N = 74.97 kN

답

P = 74.97 kN

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 23.87 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/600 = 104720 N/mm

k₂ = 100000·2827/500 = 565487 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 80000·565487/670206 = 67500 N

응력

σ₂ = 67500/2827 = 23.87 MPa (압축)

답

σ₂ = 23.87 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 3.454 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/6000² = 3454 N = 3.454 kN

답

P_cr = 3.454 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 45.13 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·30000 = 90000 N

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·1250²/(π³·70000))^(1/4) = 45.13 mm

답

d = 45.13 mm

확인: 세장비 KL/r는 110.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.06001

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/3)·ln(50/16.1) = 0.3777

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3777/√(39.48 + 0.1427) = 0.06001

답

ζ = 0.06001

12.기계 진동

답: f_n = 4.502 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 5 + 15 = 20 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(20000/25) = 28.28 rad/s

f_n = 28.28/(2π) = 4.502 Hz

답

f_n = 4.502 Hz

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