기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

150 mm 풀리가 1450 rpm으로 돌며 미끄러짐 1 %인 벨트로 450 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 1450 rpmd₁ = 150 mmd₂ = 450 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 80 mm 풀리와 450 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 1000 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 80 mmd₂ = 450 mmC = 1000 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 3 m이고, 구간 BC는 지름 20 mm, 길이 0.8 m이다. 자유단 C에 토크 100 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

T = 100 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 3 md₂ = 20 mm, L₂ = 0.8 m

τ_max = MPa

4.축의 비틀림어려움

중공축이 3000 rpm에서 15 kW을(를) 전달해야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.6배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 d_o을(를) 구하시오.

P = 15 kWN = 3000 rpmd_i/d_o = 0.6τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 90 MPa, σᵧ = −10 MPa이다. 최대 주응력이 125 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 90 MPaσ_y = −10 MPaσ₁ = 125 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 30 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 100 N·m와(과) 토크 2000 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 30 mmM = 100 N·mT = 2000 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 50 mm, 길이 200 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.4 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaδ = 0.4 mm

P = kN

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 55 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 145 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 145 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 12 mm 다음 한 주기 뒤에 최댓값 5.6 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 12 mmx₁ = 5.6 mmn = 1

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 15 kN/m, k₂ = 12 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 12 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 478.5 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1450·150/450 = 483.3 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 483.3·0.99 = 478.5 rpm

답

n₂ = 478.5 rpm

2.기어와 기어열

답: θ = 158.7 °

벨트 각도

asin(0.185) = 10.66°

접촉각

θ = 180 − 2·10.66 = 158.7°

답

θ = 158.7°

3.축의 비틀림

답: τ_max = 63.66 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

각 구간의 응력

T = 100 N·m = 100000 N·mm

τ_AB = 16·100000/(π·60³) = 2.358 MPa

τ_BC = 16·100000/(π·20³) = 63.66 MPa

답

τ_max = 63.66 MPa

4.축의 비틀림

답: d_o = 15.5 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

T = P/ω = 15000/314.2 = 47.75 N·m

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 47.75 N·m = 47746 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0.6⁴ = 0.8704

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·47746/(π·75·0.8704)) = 15.5 mm

d_i = 0.6·15.5 = 9.301 mm

답

d_o = 15.5 mm

속이 찬 축이라면 d = 14.8 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 68.74 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (90 + (−10))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 125 − 40 = 85 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(85² − 50²) = 68.74 MPa

답

τ_xy = 68.74 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 396.6 MPa

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·100000/(π·30³) = 37.73 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377.3 MPa

모어 원

C = σ/2 = 18.86 MPa

R = √(18.86² + 377.3²) = 377.7 MPa

σ₁ = C + R = 396.6 MPa

σ₂ = C − R = −358.9 MPa

답

σ₁ = 396.6 MPa

7.축 응력과 변형률

답: P = 133 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1963 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1.989 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(100000·1963) = 1.019 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.4/3.008 × 10⁻⁶ = 132977 N = 133 kN

답

P = 133 kN

8.축 응력과 변형률

답: δ = 5.188 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 112 MPa

σ₂ = 273.5 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 112·1500/100000 = 1.681 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 273.5·1500/117000 = 3.507 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5.188 mm

답

δ = 5.188 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 16.82 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 2·3000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/6000² = 16822 N = 16.82 kN

답

P_cr = 16.82 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 84.63 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 3·145000 = 435000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·435000·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 84.63 mm

답

d = 84.63 mm

확인: 세장비 KL/r는 94.52이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.1204

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/1)·ln(12/5.6) = 0.7621

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7621/√(39.48 + 0.5809) = 0.1204

답

ζ = 0.1204

12.기계 진동

답: k_eq = 27 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 15 + 12 = 27 kN/m

답

k_eq = 27 kN/m

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