기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1450 rpm의 0.75 kW 모터가 줄 수 2인 웜을 구동한다. 웜 휠의 잇수는 50개이고 구동 장치의 효율은 75%이다. 휠 축의 출력 토크 Tw을(를) 구하시오.
z = 2Nw = 50n = 1450 rpmP = 0.75 kWη = 75%
Tw = N·m
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 30개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 45개)를 구동한다. 기어 C(잇수 30개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 576 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 ND은(는) 몇 개여야 하는가?
nin = 1440 rpmA = 30B = 45C = 30nout = 576 rpm
ND =
3.축의 비틀림보통
중공축이 토크 2000 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.5배로 하고, 전단 응력은 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.
T = 2000 N·mdi/do = 0.5τallow = 80 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 황동 축이 300 rpm에서 15 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 15 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.75°/mG = 39 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = 80 MPaσy = 50 MPaτxy = −10 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 30 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 30 kN와(과) 토크 2000 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
d = 30 mmF = −30 kNT = 2000 N·m
τmax = MPa
7.축 응력과 변형률보통
황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 55 kNd = 12 mmL = 2.5 mE = 100 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 95 kN구간 1: Ø35 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 130 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 130 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 25 kN/m인 스프링에 달린 250 kg 질량에 감쇠비 0.3을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 250 kgk = 25 kN/mζ = 0.3
fd = Hz
12.기계 진동어려움
20 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 50 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 20 kgk1 = 20 kN/mk2 = 50 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: Tw = 92.61 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
휠 속도
nw = n·z/Nw = 1450·2/50 = 58 rpm
출력 토크
ωw = 2π·58/60 = 6.074 rad/s
Tw = η·P/ωw = 0.75·750/6.074 = 92.61 N·m
답
Tw = 92.61 N·m
2.기어와 기어열
답: ND = 50
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
중간축 속도
nB = nC = 1440·30/45 = 960 rpm
기어 D의 잇수
ND = C·nC/nout = 30·960/576 = 50
답
ND = 50
3.축의 비틀림
답: do = 51.4 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
허용 응력에서 구한 바깥지름
T = 2000 N·m = 2 × 10⁶ N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.5⁴ = 0.9375
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·2 × 10⁶/(π·80·0.9375)) = 51.4 mm
di = 0.5·51.4 = 25.7 mm
답
do = 51.4 mm
속이 찬 축이라면 d = 50.31 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.
4.축의 비틀림
답: d = 55.56 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 15000/31.42 = 477.5 N·m
강도 기준 지름
T = 477.5 N·m = 477465 N·mm
dτ = ∛(16·477465/(π·50)) = 36.5 mm
강성 기준 지름
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·477465/(π·39000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 55.56 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(36.5, 55.56) = 55.56 mm
답
d = 55.56 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: θs = −61.85 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = −10/18.03 = −0.5547, sin 2θs = −15/18.03 = −0.8321
2θs = atan2(−15, −10) = −123.7°
요소에서의 각도
θs = −61.85°
검산: θs − θp = −61.85 − (−16.85) = −45°
답
θs = −61.85°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 377.9 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −30000/(π·30²/4) = −30000/706.9 = −42.44 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·2000000/(π·30³) = 377.3 MPa
모어 원
C = σ/2 = −21.22 MPa
R = √((−21.22)² + 377.3²) = 377.9 MPa
답
τmax = 377.9 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 4863 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ = P/A = 55·1000/113.1 = 486.3 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.
ε = σ/E = 486.3/100000 = 0.004863 = 4863 µε
답
ε = 4863 µε
8.축 응력과 변형률
답: δ = 6.542 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 98.74 MPa
σ2 = 302.4 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 98.74·500/100000 = 0.4937 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 302.4·2000/100000 = 6.048 mm
δ = δ1 + δ2 = 6.542 mm
답
δ = 6.542 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 17.8 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/2100² = 17797 N = 17.8 kN
답
Pcr = 17.8 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 104.8 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N
KL = 1·6000 = 6000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 104.8 mm
답
d = 104.8 mm
확인: 세장비 KL/r는 228.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 1.518 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(25000/250) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.3²) = 1.518 Hz
답
fd = 1.518 Hz
12.기계 진동
답: fn = 6.876 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 20 + 50 = 70 kN/m
keq = 70·80/(70 + 80) = 37.33 kN/m
고유 진동수
ωn = √(37333/20) = 43.2 rad/s
fn = 43.2/(2π) = 6.876 Hz
답
fn = 6.876 Hz
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