기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 240 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 4 mm, 감속비 4 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N₁은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 240 mmm = 4 mmi = 4

N₁ =

2.기어와 기어열어려움

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 12개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 600 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 n_c을(를) 구하시오.

N_s = 12N_p = 24n_s = 600 rpm

n_c = rpm

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 60 mm, 길이 2.5 m이고, 구간 BC는 지름 50 mm, 길이 2.5 m이다. 자유단 C에 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 500 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 2.5 md₂ = 50 mm, L₂ = 2.5 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 300 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 300 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 10 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 130 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = 130 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 40 kNd = 16 mmL = 3 mE = 117 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 20 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

20 kg 질량이 강성 4 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 110 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 20 kgk = 4 kN/mc = 110 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 12 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 12 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 12 kN/mk₂ = 12 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₁ = 24

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·240/4 = 120

비율로 나누기

N₁ = 120/(1 + 4) = 24

답

N₁ = 24

2.기어와 기어열

답: n_c = 100 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (n_s − n_c)/(n_r − n_c) = −N_r/N_s로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

N_r = N_s + 2·N_p = 12 + 2·24 = 60

링 고정일 때의 윌리스 식

n_r = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(600 − n_c)/(0 − n_c) = −60/12

n_c = n_s·N_s/(N_s + N_r) = 600·12/72 = 100 rpm

답

n_c = 100 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φ_C = 2.163 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·60⁴/32 = 1.272 × 10⁶ mm⁴

J₂ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 500 N·m = 500000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 500000·2500/(80000·1.272 × 10⁶) = 0.01228 rad

φ_BC = 500000·2500/(80000·613592) = 0.02546 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.01228 + 0.02546 = 0.03775 rad = 2.163°

답

φ_C = 2.163°

4.축의 비틀림

답: d = 54.53 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s

T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·50)) = 54.53 mm

답

d = 54.53 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 67.5 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·10, 70 − 90) = 135°

요소에서의 각도

θ_p = 67.5°

답

θ_p = 67.5°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 156.2 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 65 MPa, R = 82.01 MPa

σ₁ = 147 MPa, σ₂ = −17.01 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(147² − 147·(−17.01) + (−17.01)²) = 156.2 MPa

답

σ_vM = 156.2 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 1700 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ = P/A = 40·1000/201.1 = 198.9 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 198.9/117000 = 0.0017 = 1700 µε

답

ε = 1700 µε

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 63.66 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 40.74 MPa

σ₂ = 63.66 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 63.66 MPa

답

σ_max = 63.66 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 8.188 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/6000² = 8188 N = 8.188 kN

답

P_cr = 8.188 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 19.28 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/12.5 = 320

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/320² = 19.28 MPa

답

σ_cr = 19.28 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.1945

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(4000·20) = 565.7 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 110/565.7 = 0.1945

답

ζ = 0.1945

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: f_n = 1.233 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/12 + 1/12 → k_eq = 12·12/(12 + 12) = 6 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(6000/100) = 7.746 rad/s

f_n = 7.746/(2π) = 1.233 Hz

답

f_n = 1.233 Hz

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