기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 180 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 3 mm, 감속비 4 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N₁은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 180 mmm = 3 mmi = 4

N₁ =

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1500 rpm의 160 mm 구동 풀리를 200 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 600 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 2000 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 160 mmn₁ = 1500 rpmd₂ = 200 mmC = 600 mmμ = 0.3T₁ = 2000 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 100 N·md = 30 mmL = 1.5 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 축이 1500 rpm에서 20 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 60 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 1500 rpmτ_allow = 60 MPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa이다. 최대 주응력이 175 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 130 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 175 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 600 mm, 벽 두께 10 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 55°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 600 mmt = 10 mmp = 2.5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 300 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 25 kN구간 1: Ø40 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 200 GPa (강철)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 2 kN/m인 스프링에 달린 10 kg 질량에 감쇠비 0.6을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk = 2 kN/mζ = 0.6

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 25 kN/m, k₂ = 10 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 10 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₁ = 24

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·180/3 = 120

비율로 나누기

N₁ = 120/(1 + 4) = 24

답

N₁ = 24

2.기어와 기어열

답: P = 15.14 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 3.075 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.9225 = 2.516, T₂ = 2000/2.516 = 795.1 N

전력

P = (2000 − 795.1)·12.57 = 15.14 kW

답

P = 15.14 kW

3.축의 비틀림

답: φ = 1.351 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·79522) = 0.02358 rad

φ = 0.02358·180/π = 1.351°

답

φ = 1.351°

4.축의 비틀림

답: d = 22.11 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s

T = P/ω = 20000/157.1 = 127.3 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·60)) = 22.11 mm

답

d = 22.11 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 100.6 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (130 + (−50))/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 175 − 40 = 135 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(135² − 90²) = 100.6 MPa

답

τ_xy = 100.6 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 49.84 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 600/2 = 300 mm

σ_h = pr/t = 2.5·300/10 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 37.5·sin²55° + 75·cos²55° = 49.84 MPa

답

σ_n = 49.84 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.3131 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 110·10³·2199 = 3.833 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 300000·400/3.833 × 10⁸ = 0.3131 mm

답

δ = 0.3131 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 2.949 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 19.89 MPa

σ₂ = 124.3 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 19.89·1000/70000 = 0.2842 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 124.3·1500/70000 = 2.664 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2.949 mm

답

δ = 2.949 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 67.14 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/2800² = 67140 N = 67.14 kN

답

P_cr = 67.14 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 100.7 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

KL/r = 1050/7.5 = 140

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

답

σ_cr = 100.7 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 1.801 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(2000/10) = 14.14 rad/s

f_n = 14.14/(2π) = 2.251 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 2.251·√(1 − 0.6²) = 1.801 Hz

답

f_d = 1.801 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 5.955 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 25 + 10 = 35 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(35000/25) = 37.42 rad/s

f_n = 37.42/(2π) = 5.955 Hz

답

f_n = 5.955 Hz

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