기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 160 mmd2​ = 250 mm720 rpmT1​ = 400 NT2​ = 100 NP = ?

벨트가 160 mm 구동 풀리 위를 720 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 400 N, 이완측 100 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d1 = 160 mmn1 = 720 rpmT1 = 400 NT2 = 100 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
d1​ = 120 mmd2​ = 300 mm960 rpmC = 600 mmT1​ = 1200 NT2​P = ?

평벨트가 960 rpm의 120 mm 구동 풀리를 300 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 600 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 1200 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d1 = 120 mmn1 = 960 rpmd2 = 300 mmC = 600 mmμ = 0.3T1 = 1200 N
P = kW
3.축의 비틀림보통
do​ = 30, di​ = 21 mmT = 1000 N·mL = 1.5 m

강철 중공축(바깥지름 30 mm, 안지름 21 mm, 길이 1.5 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 1000 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 1000 N·mdo = 30 mmdi = 21 mmL = 1.5 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 40 mmTB​ = 1500 N·mTC​ = 200 N·mABC2 m2.5 m

지름 40 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 2 m 떨어진 B에 토크 1500 N·m이(가), 거기서 2.5 m 더 떨어진 자유단 C에 반대 방향의 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 크기 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

d = 40 mmTB = 1500 N·mTC = 200 N·mAB = 2 mBC = 2.5 mG = 80 GPa
φC = °
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 140σy​ = 120τxy​ = 30MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 120 MPa, τₓᵧ = 30 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 140 MPaσy = 120 MPaτxy = 30 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 50σy​ = 40τxy​ = −20MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −20 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 355 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 50 MPaσy = 40 MPaτxy = −20 MPaσY = 355 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
50 kNØ25120 GPaØ120/60300 mmδ = ?

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 50 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 50 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
P = ?Ø30100 GPaØ100/70600 mm

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 Pmax을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σallow = 120 MPa관: Ø100/Ø70 mm, E = 100 GPa, σallow = 60 MPa
Pmax = kN
9.기둥의 좌굴보통
PL = 2 m30 × 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 5 md = 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 60 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 20 kN/mc = 590 N·s/mm = 12 kg

12 kg 질량이 강성 20 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 590 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 12 kgk = 20 kN/mc = 590 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 50k2​ = 80m = 20 kg

20 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 50 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 80 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk1 = 50 kN/mk2 = 80 kN/m
keq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 1.81 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 6.032 m/s

전력

P = (400 − 100)·6.032 = 1810 W = 1.81 kW

답

P = 1.81 kW
2.기어와 기어열

답: P = 4.151 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.84 rad

이완측 장력

eμθ = e0.8521 = 2.345, T₂ = 1200/2.345 = 511.8 N

전력

P = (1200 − 511.8)·6.032 = 4.151 kW

답

P = 4.151 kW
3.축의 비틀림

답: φ = 17.78 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(30⁴ − 21⁴)/32 = 60428 mm⁴

비틀림각

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
L = 1.5 m = 1500 mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·1500/(80000·60428) = 0.3103 rad
φ = 0.3103·180/π = 17.78°

답

φ = 17.78°
4.축의 비틀림

답: φC = 5.984 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

내부 토크

TC의 방향을 양으로 잡습니다.

TBC = TC = 200 N·m
TAB = TC − TB = 200 − 1500 = −1300 N·m

각 구간의 비틀림각

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = −1.3 × 10⁶·2000/(80000·251327) = −0.1293 rad
φBC = 200000·2500/(80000·251327) = 0.02487 rad

끝 C의 비틀림각

φC = −0.1293 + 0.02487 = −0.1044 rad → |φC| = 5.984°

답

φC = 5.984°
5.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 80.81 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

σxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 130 MPa, R = √(10² + 30²) = 31.62 MPa
σ1 = 161.6 MPa, σ2 = 98.38 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(63.25, 161.6, 98.38)/2 = 80.81 MPa

답

τabs = 80.81 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 6.18

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 45 MPa, R = 20.62 MPa
σ1 = 65.62 MPa, σ2 = 24.38 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(65.62² − 65.62·24.38 + 24.38²) = 57.45 MPa
n = 355/57.45 = 6.18

답

n = 6.18

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.01344 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·25²/4 = 490.9 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 120·10³·8482 = 1.116 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 50000·300/1.116 × 10⁹ = 0.01344 mm

답

δ = 0.01344 mm
8.축 응력과 변형률

답: Pmax = 325.2 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·30²/4 = 706.9 mm²
At = π(100² − 70²)/4 = 4006 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·4006 = 5.419 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.0006) = 0.0006 (황동)

최대 하중

Pmax = 0.0006·5.419 × 10⁸ = 325155 N = 325.2 kN

답

Pmax = 325.2 kN
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 88.83 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·2000 = 2000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2000² = 88826 N = 88.83 kN

답

Pcr = 88.83 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 6.218 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·5000 = 5000 mm
KL/r = 5000/15 = 333.3

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333.3² = 6.218 MPa

답

σcr = 6.218 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.6022

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·12) = 979.8 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 590/979.8 = 0.6022

답

ζ = 0.6022

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: keq = 30.77 kN/m

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/50 + 1/80 → keq = 50·80/(50 + 80) = 30.77 kN/m

답

keq = 30.77 kN/m

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