기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 63 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 2 mm, 감속비 2.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N₂은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 63 mmm = 2 mmi = 2.5

N₂ =

2.기어와 기어열어려움

1450 rpm의 11 kW 모터가 기어 A(잇수 15개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 20개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 20개)는 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 11 kWn_in = 1450 rpmA = 15B = 20C = 20D = 60η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

알루미늄 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 20 mmL = 0.8 mG = 26 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 500 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 40 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = 30 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 40 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 50 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). 폰 미제스 상당 응력 σ_vM을(를) 구하시오.

σ_x = 50 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −60 MPa

σ_vM = MPa

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 90 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa, 허용응력 200 MPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 30 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 90 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 90 kNn = 2.5L = 6 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 10 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 2.2 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 10 mmx₄ = 2.2 mmn = 4

ζ =

12.기계 진동어려움

10 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 15 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 15 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 10 kgk₁ = 15 kN/mk₂ = 15 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₂ = 45

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·63/2 = 63

비율로 나누기

N₁ = 63/(1 + 2.5) = 18

N₂ = 2.5·18 = 45

답

N₂ = 45

2.기어와 기어열

답: T_out = 272.6 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 1450·(15/20)·(20/60) = 362.5 rpm

ω_out = 2π·362.5/60 = 37.96 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 11000·0.97² = 10350 W

T_out = P_out/ω_out = 10350/37.96 = 272.6 N·m

답

T_out = 272.6 N·m

3.축의 비틀림

답: φ = 22.45 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(26000·15708) = 0.3918 rad

φ = 0.3918·180/π = 22.45°

답

φ = 22.45°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 51.74 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m

극관성 모멘트

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1.107 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.91 × 10⁶·30/1.107 × 10⁶ = 51.74 MPa

답

τ_max = 51.74 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 60.55 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 75 MPa, R = √((−35)² + 30²) = 46.1 MPa

σ₁ = 121.1 MPa, σ₂ = 28.9 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(92.2, 121.1, 28.9)/2 = 60.55 MPa

답

τ_abs = 60.55 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_vM = 115.3 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = 25 MPa, R = 65 MPa

σ₁ = 90 MPa, σ₂ = −40 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(90² − 90·(−40) + (−40)²) = 115.3 MPa

답

σ_vM = 115.3 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 15.92 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 90·1000/113.1 = 795.8 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 795.8/100000 = 0.007958 = 7958 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.007958·2000 mm = 15.92 mm

답

δ = 15.92 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 295.3 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 70·10³·2199 = 2.953 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.001, 0.001429) = 0.001 (강철)

최대 하중

P_max = 0.001·2.953 × 10⁸ = 295310 N = 295.3 kN

답

P_max = 295.3 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 8.721 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN

답

P_cr = 8.721 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 67.61 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·90000 = 225000 N

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·3000²/(π³·200000))^(1/4) = 67.61 mm

답

d = 67.61 mm

확인: 세장비 KL/r는 177.5이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.06014

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/4)·ln(10/2.2) = 0.3785

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3785/√(39.48 + 0.1433) = 0.06014

답

ζ = 0.06014

12.기계 진동

답: f_n = 4.359 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/15 + 1/15 → k_eq = 15·15/(15 + 15) = 7.5 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(7500/10) = 27.39 rad/s

f_n = 27.39/(2π) = 4.359 Hz

답

f_n = 4.359 Hz

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