기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

1450 rpm으로 도는 7.5 kW 모터가 잇수 18개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 24개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 97%이다. 모터 축의 토크 T₁을(를) 구하시오.

P = 7.5 kWn₁ = 1450 rpmN₁ = 18N₂ = 24η = 97%

T₁ = N·m

2.기어와 기어열어려움

960 rpm의 1.1 kW 모터가 기어 A(잇수 18개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 32개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 20개)는 출력축의 기어 D(잇수 25개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 1.1 kWn_in = 960 rpmA = 18B = 32C = 20D = 25η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 50 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 강철 축이 500 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 500 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0.5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = −80 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −30 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 100 MPa, σᵧ = −20 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 20° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 100 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 400 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 200 MPa)이 구리으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 120 GPa, 허용응력 60 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 120 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 고정이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 130 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 130 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (강철)

d = mm

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 10 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 1.5 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 10 mmx₂ = 1.5 mmn = 2

ζ =

12.기계 진동어려움

50 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 25 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 50 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk₁ = 25 kN/mk₂ = 50 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: T₁ = 49.39 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

모터 토크

ω₁ = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T₁ = P/ω₁ = 7500/151.8 = 49.39 N·m

답

T₁ = 49.39 N·m

2.기어와 기어열

답: T_out = 22.88 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 960·(18/32)·(20/25) = 432 rpm

ω_out = 2π·432/60 = 45.24 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 1100·0.97² = 1035 W

T_out = P_out/ω_out = 1035/45.24 = 22.88 N·m

답

T_out = 22.88 N·m

3.축의 비틀림

답: φ = 0.7003 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·3000/(80000·613592) = 0.01222 rad

φ = 0.01222·180/π = 0.7003°

답

φ = 0.7003°

4.축의 비틀림

답: d = 53.77 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m

강도 기준 지름

T = 573 N·m = 572958 N·mm

d_τ = ∛(16·572958/(π·40)) = 41.78 mm

강성 기준 지름

θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·572958/(π·80000·8.727 × 10⁻⁶))^1/4 = 53.77 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(41.78, 53.77) = 53.77 mm

답

d = 53.77 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = 61.85 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = −30/54.08 = −0.5547, sin 2θ_s = −(−45)/54.08 = 0.8321

2θ_s = atan2(45, −30) = 123.7°

요소에서의 각도

θ_s = 61.85°

검산: θ_s − θ_p = 61.85 − (−73.15) = 135°

답

θ_s = 61.85°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 105.2 MPa

변환 식

σ_θ = 40 + 60·0.766 + 30·0.6428 = 105.2 MPa

답

σ_θ = 105.2 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04289 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5890 = 7.461 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 80000·400/7.461 × 10⁸ = 0.04289 mm

답

δ = 0.04289 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 634.6 kN

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 120·10³·8482 = 1.269 × 10⁹ N

지배 변형률

ε = min(0.001, 0.0005) = 0.0005 (구리)

최대 하중

P_max = 0.0005·1.269 × 10⁹ = 634602 N = 634.6 kN

답

P_max = 634.6 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 900 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2100² = 899955 N = 900 kN

답

P_cr = 900 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 60.52 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2.5·130000 = 325000 N

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·325000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60.52 mm

답

d = 60.52 mm

확인: 세장비 KL/r는 132.2이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.1493

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/2)·ln(10/1.5) = 0.9486

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.9486/√(39.48 + 0.8998) = 0.1493

답

ζ = 0.1493

12.기계 진동

답: f_n = 2.906 Hz

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

1/k_eq = 1/25 + 1/50 → k_eq = 25·50/(25 + 50) = 16.67 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(16667/50) = 18.26 rad/s

f_n = 18.26/(2π) = 2.906 Hz

답

f_n = 2.906 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design