기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
2900 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 12개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 25개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 98%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
P = 5.5 kWn1 = 2900 rpmN1 = 12N2 = 25η = 98%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
960 rpm의 2.2 kW 모터가 기어 A(잇수 40개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 45개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 32개)는 출력축의 기어 D(잇수 60개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 95%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 2.2 kWnin = 960 rpmA = 40B = 45C = 32D = 60ηmesh = 95%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.
T = 500 N·md = 20 mmL = 1 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 25 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 0.5 m, B에서 3 m 떨어진 C에 토크 100 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.
d = 25 mmT0 = 100 N·ma = 0.5 mb = 3 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 150 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 시계 방향 45° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.
σx = 150 MPaσy = 60 MPaτxy = −60 MPaθ = -45°
σy′ = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 25 mm인 속이 찬 축이 축방향 인장력 120 kN와(과) 토크 250 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 25 mmF = 120 kNT = 250 N·m
σ1 = MPa
7.축 응력과 변형률보통
강철 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 105 kNd = 16 mmL = 1 mE = 200 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
강철 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 80 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø60 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 80 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 80 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 80 kNn = 2L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
2 kg 질량이 강성 25 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 270 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
m = 2 kgk = 25 kN/mc = 270 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
50 kg 질량이 스프링 k₃ = 25 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 15 kN/m, k₂ = 100 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 50 kgk1 = 15 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T1 = 18.11 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·2900/60 = 303.7 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/303.7 = 18.11 N·m
답
T1 = 18.11 N·m
2.기어와 기어열
답: Tout = 41.66 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 960·(40/45)·(32/60) = 455.1 rpm
ωout = 2π·455.1/60 = 47.66 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 2200·0.95² = 1986 W
Tout = Pout/ωout = 1986/47.66 = 41.66 N·m
답
Tout = 41.66 N·m
3.축의 비틀림
답: φ = 22.8 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
비틀림각
φ = TL/(GJ) = 500·1000·1000/(80000·15708) = 0.3979 rad
φ = 0.3979·180/π = 22.8°
답
φ = 22.8°
4.축의 비틀림
답: TA = 85.71 N·m
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 100
TA·a = TB·b
TA = 100·3/3.5 = 85.71 N·m
TB = 100·0.5/3.5 = 14.29 N·m
답
TA = 85.71 N·m
5.모어 원과 응력 변환
답: σy′ = 45 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
y′ 면의 변환 공식
σy′ = 105 − 45·0 − (−60)·(−1) = 45 MPa
검산
수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.
σx′ = 165 MPa, σx′ + σy′ = 210 = σx + σy
답
σy′ = 45 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 269.1 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = 120000/(π·25²/4) = 120000/490.9 = 244.5 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·250000/(π·25³) = 81.49 MPa
모어 원
C = σ/2 = 122.2 MPa
R = √(122.2² + 81.49²) = 146.9 MPa
σ1 = C + R = 269.1 MPa
σ2 = C − R = −24.67 MPa
답
σ1 = 269.1 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 2611 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 105·1000/201.1 = 522.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 522.2/200000 = 0.002611 = 2611 µε
답
ε = 2611 µε
8.축 응력과 변형률
답: σ2 = 14.08 MPa
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
강성
k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm
k₂ = 110000·2827/500 = 622035 N/mm
구간 2의 몫
F2 = 80000·622035/1.25 × 10⁶ = 39799 N
응력
σ2 = 39799/2827 = 14.08 MPa (압축)
답
σ2 = 14.08 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 22.85 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 2·1500 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22.85 kN
답
Pcr = 22.85 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 147.4 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 2·80000 = 160000 N
KL = 2·5000 = 10000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·10000²/(π³·70000))^(1/4) = 147.4 mm
답
d = 147.4 mm
확인: 세장비 KL/r는 271.4이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.6037
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
임계 감쇠
cc = 2·√(k·m) = 2·√(25000·2) = 447.2 N·s/m
감쇠비
ζ = c/cc = 270/447.2 = 0.6037
답
ζ = 0.6037
ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.
12.기계 진동
답: fn = 3.225 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 15 + 100 = 115 kN/m
keq = 115·25/(115 + 25) = 20.54 kN/m
고유 진동수
ωn = √(20536/50) = 20.27 rad/s
fn = 20.27/(2π) = 3.225 Hz
답
fn = 3.225 Hz
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