기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 80 mm 구동 풀리 위를 2880 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 500 N, 이완측 250 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 80 mmn₁ = 2880 rpmT₁ = 500 NT₂ = 250 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

1440 rpm의 15 kW 모터가 기어 A(잇수 16개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 30개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 25개)는 출력축의 기어 D(잇수 72개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 15 kWn_in = 1440 rpmA = 16B = 30C = 25D = 72η_mesh = 97%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 0.5 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

지름 60 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 2.5 m, B에서 1 m 떨어진 C에 토크 400 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 60 mmT₀ = 400 N·ma = 2.5 mb = 1 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 80 MPa이다. 최대 주응력이 170 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 120 MPaσ_y = 80 MPaσ₁ = 170 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 400 mm, 벽 두께 12 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 2.5 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 55°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매에 수직으로 작용하는 수직 응력 σ_n을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 12 mmp = 2.5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

7.축 응력과 변형률보통

황동 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.

P = 100 kNd = 12 mmL = 2 mE = 100 GPa

ε = µε

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 65 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 25 mm 다음 2주기 뒤에 최댓값 11.7 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 25 mmx₂ = 11.7 mmn = 2

ζ =

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 스프링 k₃ = 5 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 50 kN/m, k₂ = 20 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 50 kN/mk₂ = 20 kN/mk₃ = 5 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 3.016 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 12.06 m/s

전력

P = (500 − 250)·12.06 = 3016 W = 3.016 kW

답

P = 3.016 kW

2.기어와 기어열

답: T_out = 505.4 N·m

Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 1440·(16/30)·(25/72) = 266.7 rpm

ω_out = 2π·266.7/60 = 27.93 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 15000·0.97² = 14114 W

T_out = P_out/ω_out = 14114/27.93 = 505.4 N·m

답

T_out = 505.4 N·m

3.축의 비틀림

답: φ = 2.923 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·251327) = 0.05101 rad

φ = 0.05101·180/π = 2.923°

답

φ = 2.923°

4.축의 비틀림

답: τ_max = 6.737 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 400

T_A·a = T_B·b

T_A = 400·1/3.5 = 114.3 N·m

T_B = 400·2.5/3.5 = 285.7 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τ_max = 16·285714/(π·60³) = 6.737 MPa

답

τ_max = 6.737 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 67.08 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (120 + 80)/2 = 100 MPa

R = σ₁ − C = 170 − 100 = 70 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 20²) = 67.08 MPa

답

τ_xy = 67.08 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_n = 27.69 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 2.5·200/12 = 41.67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 20.83 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

σ_n = 20.83·sin²55° + 41.67·cos²55° = 27.69 MPa

답

σ_n = 27.69 MPa

7.축 응력과 변형률

답: ε = 8842 µε

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ = P/A = 100·1000/113.1 = 884.2 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 884.2/100000 = 0.008842 = 8842 µε

답

ε = 8842 µε

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 206.9 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314.2 mm²

σ₁ = 132.4 MPa

σ₂ = 206.9 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 206.9 MPa

답

σ_max = 206.9 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 4.974 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·5000 = 5000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/5000² = 4974 N = 4.974 kN

답

P_cr = 4.974 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 71.06 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166.7

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166.7² = 71.06 MPa

답

σ_cr = 71.06 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.06031

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/2)·ln(25/11.7) = 0.3796

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3796/√(39.48 + 0.1441) = 0.06031

답

ζ = 0.06031

12.기계 진동

답: f_n = 1.087 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 50 + 20 = 70 kN/m

k_eq = 70·5/(70 + 5) = 4.667 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(4667/100) = 6.831 rad/s

f_n = 6.831/(2π) = 1.087 Hz

답

f_n = 1.087 Hz

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