기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = 18, m = 2.5 mm

1440 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 18개, 모듈 2.5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 Ft을(를) 구하시오.

P = 1.1 kWn = 1440 rpmN1 = 18m = 2.5 mm
Ft = N
2.기어와 기어열어려움
d1​ = 80 mmd2​ = 200 mm1500 rpmC = 1200 mmθ = ?

평벨트가 80 mm 풀리와 200 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 1200 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d1 = 80 mmd2 = 200 mmC = 1200 mm
θ = °
3.축의 비틀림보통
d1​ = 75 mmd2​ = 25 mmT = 200 N·mABC2 m1.5 m

단이 진 속이 찬 황동 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 75 mm, 길이 2 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 1.5 m이다. 자유단 C에 토크 200 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

T = 200 N·md1 = 75 mm, L1 = 2 md2 = 25 mm, L2 = 1.5 m
τmax = MPa
4.축의 비틀림어려움
d = ?20 kW, 500 rpm

속이 찬 알루미늄 축이 500 rpm에서 20 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 20 kWN = 500 rpmτallow = 75 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 160σy​ = 80τxy​ = 10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 160 MPa, σᵧ = 80 MPa, τₓᵧ = 10 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σx = 160 MPaσy = 80 MPaτxy = 10 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 110σy​ = 110τxy​ = −10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 110 MPa, σᵧ = 110 MPa, τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 355 MPa이다. 트레스카(최대 전단 응력) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 110 MPaσy = 110 MPaτxy = −10 MPaσY = 355 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12600 mm500 mmØ30Ø60δ = 0.5 mm

막대가 강철 구간(지름 30 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 500 mm, E = 100 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.5 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø60 mm, 500 mm, E = 100 GPaδ = 0.5 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm황동2 mØ 12 mm알루미늄1.5 mP = 115 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 115 kN구간 1: Ø25 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 4 m25 × 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 4 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 125 kNL = 2.5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 125 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 125 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 200 kN/mc = 1130 N·s/mm = 250 kg

250 kg 질량이 강성 200 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 1130 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 250 kgk = 200 kN/mc = 1130 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 40k2​ = 100k3​ = 25m = 50 kg

50 kg 질량이 스프링 k₃ = 25 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 40 kN/m, k₂ = 100 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk1 = 40 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 25 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: Ft = 324.2 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·1440/60 = 150.8 rad/s
T = P/ω = 1100/150.8 = 7.295 N·m

피치원 지름

d = m·N = 2.5·18 = 45 mm

접선력

Ft = 2T/d = 2·7.295/0.045 = 324.2 N

답

Ft = 324.2 N
2.기어와 기어열

답: θ = 174.3 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.05) = 2.866°

접촉각

θ = 180 − 2·2.866 = 174.3°

답

θ = 174.3°
3.축의 비틀림

답: τmax = 65.19 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

각 구간의 응력

T = 200 N·m = 200000 N·mm
τAB = 16·200000/(π·75³) = 2.414 MPa
τBC = 16·200000/(π·25³) = 65.19 MPa

답

τmax = 65.19 MPa
4.축의 비틀림

답: d = 58.15 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 20000/52.36 = 382 N·m

강도 기준 지름

T = 382 N·m = 381972 N·mm
dτ = ∛(16·381972/(π·75)) = 29.6 mm

강성 기준 지름

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·381972/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 58.15 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(29.6, 58.15) = 58.15 mm

답

d = 58.15 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τabs = 80.62 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

σxyCσ1​σ2​

면내 주응력

C = 120 MPa, R = √(40² + 10²) = 41.23 MPa
σ1 = 161.2 MPa, σ2 = 78.77 MPa, σz = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(82.46, 161.2, 78.77)/2 = 80.62 MPa

답

τabs = 80.62 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.958

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

σxyCσ1​σ2​

주응력

C = 110 MPa, R = 10 MPa
σ1 = 120 MPa, σ2 = 100 MPa, σ3 = 0

트레스카

σmax − σmin = 120 MPa
n = 355/120 = 2.958

답

n = 2.958

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 83.16 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 706.9 mm², A₂ = 2827 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706.9) = 4.244 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 500/(100000·2827) = 1.768 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.5/6.013 × 10⁻⁶ = 83160 N = 83.16 kN

답

P = 83.16 kN
8.축 응력과 변형률

답: σmax = 1017 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 234.3 MPa
σ2 = 1017 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 1017 MPa

답

σmax = 1017 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 6.884 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·78125/2800² = 6884 N = 6.884 kN

답

Pcr = 6.884 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 91.18 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·125000 = 375000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 91.18 mm

답

d = 91.18 mm

확인: 세장비 KL/r는 109.7이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.0799

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(200000·250) = 14142 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 1130/14142 = 0.0799

답

ζ = 0.0799

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: fn = 3.278 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 40 + 100 = 140 kN/m
keq = 140·25/(140 + 25) = 21.21 kN/m

고유 진동수

ωn = √(21212/50) = 20.6 rad/s
fn = 20.6/(2π) = 3.278 Hz

답

fn = 3.278 Hz

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