기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

960 rpm으로 도는 1.5 kW 모터가 잇수 18개, 모듈 2.5 mm인 피니언을 구동한다. 피니언 이에 작용하는 접선력 F_t을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWn = 960 rpmN₁ = 18m = 2.5 mm

F_t = N

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 1440 rpm의 160 mm 구동 풀리를 315 mm 풀리에 연결하며 중심 간 거리는 1000 mm입니다. 마찰계수는 0.3이고 긴장측 장력은 1000 N을 넘을 수 없습니다. 벨트가 미끄러지지 않고 전달할 수 있는 최대 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오(원심력의 영향은 무시).

d₁ = 160 mmn₁ = 1440 rpmd₂ = 315 mmC = 1000 mmμ = 0.3T₁ = 1000 N

P = kW

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 40 mm, 길이 1.5 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 2 m이다. 자유단 C에 토크 500 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

T = 500 N·md₁ = 40 mm, L₁ = 1.5 md₂ = 25 mm, L₂ = 2 m

τ_max = MPa

4.축의 비틀림어려움

속이 빈 축이 500 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 500 rpmd_o = 75 mmd_i = 53 mm

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 60 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −50 MPa, σ_z = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τ_abs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = 50 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 30° 회전한 면의 전단 응력 τ_θ을(를) 구하시오(τₓᵧ와 같은 방향을 양으로 한다).

σ_x = 70 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 50 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 150 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa, 허용응력 50 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

8 kg 질량이 강성 12 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 310 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 8 kgk = 12 kN/mc = 310 N·s/m

ζ =

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 25 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 30 kN/mk₂ = 25 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: F_t = 663.1 N

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: F_t = 2T/d.

피니언의 토크

ω = 2π·960/60 = 100.5 rad/s

T = P/ω = 1500/100.5 = 14.92 N·m

피치원 지름

d = m·N = 2.5·18 = 45 mm

접선력

F_t = 2T/d = 2·14.92/0.045 = 663.1 N

답

F_t = 663.1 N

2.기어와 기어열

답: P = 7.139 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

접촉각

θ = 2.986 rad

이완측 장력

e^μθ = e^0.8959 = 2.45, T₂ = 1000/2.45 = 408.2 N

전력

P = (1000 − 408.2)·12.06 = 7.139 kW

답

P = 7.139 kW

3.축의 비틀림

답: τ_max = 163 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

각 구간의 응력

T = 500 N·m = 500000 N·mm

τ_AB = 16·500000/(π·40³) = 39.79 MPa

τ_BC = 16·500000/(π·25³) = 163 MPa

답

τ_max = 163 MPa

4.축의 비틀림

답: τ_max = 30.72 MPa

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 100000/52.36 = 1910 N·m

극관성 모멘트

J = π(75⁴ − 53⁴)/32 = 2.332 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τ_max = T·(d_o/2)/J = 1.91 × 10⁶·37.5/2.332 × 10⁶ = 30.72 MPa

답

τ_max = 30.72 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_abs = 66.93 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σ_max − σ_min)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.

면내 주응력

C = 80 MPa, R = √((−20)² + (−50)²) = 53.85 MPa

σ₁ = 133.9 MPa, σ₂ = 26.15 MPa, σ_z = 0

세 원 중 가장 큰 원

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(107.7, 133.9, 26.15)/2 = 66.93 MPa

답

τ_abs = 66.93 MPa

여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: τ_θ = 6.34 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

τ_θ = −10·0.866 + 30·0.5 = 6.34 MPa

답

τ_θ = 6.34 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.03217 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·5890 = 7.461 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 80000·300/7.461 × 10⁸ = 0.03217 mm

답

δ = 0.03217 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 377 kN

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·5027 = 7.54 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.00075, 0.0005) = 0.0005 (황동)

최대 하중

P_max = 0.0005·7.54 × 10⁸ = 376991 N = 377 kN

답

P_max = 377 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 24.67 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/3000² = 24674 N = 24.67 kN

답

P_cr = 24.67 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 44.22 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/20 = 125

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/125² = 44.22 MPa

답

σ_cr = 44.22 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.5003

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

c_c = 2·√(k·m) = 2·√(12000·8) = 619.7 N·s/m

감쇠비

ζ = c/c_c = 310/619.7 = 0.5003

답

ζ = 0.5003

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: k_eq = 55 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 30 + 25 = 55 kN/m

답

k_eq = 55 kN/m

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design