기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

160 mm 풀리가 1440 rpm으로 돌며 미끄러짐 1 %인 벨트로 250 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n₂을(를) 구하시오.

n₁ = 1440 rpmd₁ = 160 mmd₂ = 250 mms = 1 %

n₂ = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 25개)를 구동한다. 기어 C(잇수 15개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 72개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 1440 rpmA = 12B = 25C = 15D = 72

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

황동 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 30 mm, 길이 1.2 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md_o = 50 mmd_i = 30 mmL = 1.2 mG = 39 GPa

φ = °

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 알루미늄 축이 1450 rpm에서 5 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 40 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kWN = 1450 rpmτ_allow = 40 MPaθ_allow = 0.75°/mG = 26 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 80 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = −10 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

σ_x = 80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 120 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 수직 응력 σ_θ을(를) 구하시오.

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 60 MPaθ = 15°

σ_θ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 100 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 100 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 황동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 400 mm, E = 100 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 40 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ₂을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 황동, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2.5 mE = 200 GPa (강철)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

강성 12 kN/m인 스프링에 달린 20 kg 질량에 감쇠비 0.7을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk = 12 kN/mζ = 0.7

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

100 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 30 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 k_eq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 100 kgk₁ = 80 kN/mk₂ = 30 kN/m

k_eq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: n₂ = 912.4 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

1440·160/250 = 921.6 rpm

미끄러짐이 있을 때

n₂ = 921.6·0.99 = 912.4 rpm

답

n₂ = 912.4 rpm

2.기어와 기어열

답: n_out = 144 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

n_B = 1440·12/25 = 691.2 rpm = n_C

2단

n_out = 691.2·15/72 = 144 rpm

답

n_out = 144 rpm

전체 기어비 = 10 : 1

3.축의 비틀림

답: φ = 0.8252 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π(50⁴ − 30⁴)/32 = 534071 mm⁴

비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1.2 m = 1200 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1200/(39000·534071) = 0.0144 rad

φ = 0.0144·180/π = 0.8252°

답

φ = 0.8252°

4.축의 비틀림

답: d = 31.51 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151.8 rad/s

T = P/ω = 5000/151.8 = 32.93 N·m

강도 기준 지름

T = 32.93 N·m = 32929 N·mm

d_τ = ∛(16·32929/(π·40)) = 16.12 mm

강성 기준 지름

θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·32929/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))^1/4 = 31.51 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(16.12, 31.51) = 31.51 mm

답

d = 31.51 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_max = 11.18 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

모어 원의 반지름

τ_max = R = √(((80 − 90)/2)² + −10²) = 11.18 MPa

답

τ_max = 11.18 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: σ_θ = 148.7 MPa

변환 식

σ_θ = 110 + 10·0.866 + 60·0.5 = 148.7 MPa

답

σ_θ = 148.7 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.05127 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·20²/4 = 314.2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 70·10³·7461 = 5.851 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 100000·300/5.851 × 10⁸ = 0.05127 mm

답

δ = 0.05127 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ₂ = 21.22 MPa

강성

k₁ = 200000·314.2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·1257/400 = 314159 N/mm

구간 2의 몫

F₂ = 40000·314159/471239 = 26667 N

응력

σ₂ = 26667/1257 = 21.22 MPa (압축)

답

σ₂ = 21.22 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 22.85 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·3000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/3000² = 22846 N = 22.85 kN

답

P_cr = 22.85 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 12.34 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/6.25 = 400

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12.34 MPa

답

σ_cr = 12.34 MPa

11.기계 진동

답: f_d = 2.784 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(12000/20) = 24.49 rad/s

f_n = 24.49/(2π) = 3.898 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.898·√(1 − 0.7²) = 2.784 Hz

답

f_d = 2.784 Hz

12.기계 진동

답: k_eq = 110 kN/m

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 80 + 30 = 110 kN/m

답

k_eq = 110 kN/m

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