기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1500 rpm으로 도는 1.1 kW 모터가 잇수 30개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 40개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 95%이다. 모터 축의 토크 T1을(를) 구하시오.
P = 1.1 kWn1 = 1500 rpmN1 = 30N2 = 40η = 95%
T1 = N·m
2.기어와 기어열어려움
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 20개)가 960 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 40개)를 구동한다. 기어 C(잇수 20개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 48개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.
nin = 960 rpmA = 20B = 40C = 20D = 48
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 50 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 400 mm의 양 끝이 서로 1.87° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 50 N·md = 20 mmL = 400 mmφ = 1.87°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 알루미늄 축이 500 rpm에서 30 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.75°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kWN = 500 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.75°/mG = 26 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 50 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = 40 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.
σx = 50 MPaσy = −50 MPaτxy = 40 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
지름 50 mm인 속이 찬 축이 축방향 압축력 30 kN와(과) 토크 1000 N·m를 함께 받는다. 축의 표면에서 최대 주응력 σ1을(를) 구하시오.
d = 50 mmF = −30 kNT = 1000 N·m
σ1 = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 알루미늄 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 50 kNd = 20 mmL = 1 mE = 70 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 25 kN구간 1: Ø40 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 0.5 m, 강철 (E = 200 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 3 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
강성 200 kN/m인 스프링에 달린 8 kg 질량에 감쇠비 0.35을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 8 kgk = 200 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.기계 진동어려움
25 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 30 kN/m, k₂ = 40 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 25 kgk1 = 30 kN/mk2 = 40 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: T1 = 7.003 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 1100/157.1 = 7.003 N·m
답
T1 = 7.003 N·m
2.기어와 기어열
답: nout = 200 rpm
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
1단
nB = 960·20/40 = 480 rpm = nC
2단
nout = 480·20/48 = 200 rpm
답
nout = 200 rpm
전체 기어비 = 4.8 : 1
3.축의 비틀림
답: G = 39.01 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 1.87·π/180 = 0.03264 rad
전단 탄성 계수
T = 50 N·m = 50000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 50000·400/(15708·0.03264) = 39011 MPa
G = 39.01 GPa
답
G = 39.01 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: d = 64.35 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s
T = P/ω = 30000/52.36 = 573 N·m
강도 기준 지름
T = 573 N·m = 572958 N·mm
dτ = ∛(16·572958/(π·50)) = 38.79 mm
강성 기준 지름
θ = 0.75·π/180/1000 = 1.309 × 10⁻⁵ rad/mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
dφ = (32·572958/(π·26000·1.309 × 10⁻⁵))1/4 = 64.35 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(38.79, 64.35) = 64.35 mm
답
d = 64.35 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τabs = 64.03 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.
면내 주응력
C = 0 MPa, R = √(50² + 40²) = 64.03 MPa
σ1 = 64.03 MPa, σ2 = −64.03 MPa, σz = 0
세 원 중 가장 큰 원
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(128.1, 64.03, 64.03)/2 = 64.03 MPa
답
τabs = 64.03 MPa
여기서는 σ₁과 σ₂의 부호가 반대이므로 면내 최댓값 R이 곧 절대 최댓값입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: σ1 = 33.81 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
표면의 응력
σ = F/A = −30000/(π·50²/4) = −30000/1963 = −15.28 MPa
τ = 16T/(πd³) = 16·1000000/(π·50³) = 40.74 MPa
모어 원
C = σ/2 = −7.639 MPa
R = √((−7.639)² + 40.74²) = 41.45 MPa
σ1 = C + R = 33.81 MPa
σ2 = C − R = −49.09 MPa
답
σ1 = 33.81 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 2.274 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 50·1000/314.2 = 159.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 알루미늄 = 70 GPa = 70000 MPa.
ε = σ/E = 159.2/70000 = 0.002274 = 2274 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.002274·1000 mm = 2.274 mm
답
δ = 2.274 mm
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 79.58 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 19.89 MPa
σ2 = 79.58 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 79.58 MPa
답
σmax = 79.58 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 14.62 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·3000 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/3000² = 14622 N = 14.62 kN
답
Pcr = 14.62 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 2.999 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 1·6000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/480² = 2.999 MPa
답
σcr = 2.999 MPa
11.기계 진동
답: fd = 23.57 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(200000/8) = 158.1 rad/s
fn = 158.1/(2π) = 25.16 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 25.16·√(1 − 0.35²) = 23.57 Hz
답
fd = 23.57 Hz
12.기계 진동
답: keq = 70 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.
keq = 30 + 40 = 70 kN/m
답
keq = 70 kN/m
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