기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

벨트가 150 mm 구동 풀리 위를 1440 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 600 N, 이완측 300 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

d₁ = 150 mmn₁ = 1440 rpmT₁ = 600 NT₂ = 300 N

P = kW

2.기어와 기어열어려움

2900 rpm의 1.5 kW 모터가 기어 A(잇수 60개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 80개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 18개)는 출력축의 기어 D(잇수 32개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 98%이다. 출력 토크 T_out을(를) 구하시오.

P = 1.5 kWn_in = 2900 rpmA = 60B = 80C = 18D = 32η_mesh = 98%

T_out = N·m

3.축의 비틀림보통

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 30 mm, 길이 2.5 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 1.2 m이다. 자유단 C에 토크 250 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φ_C을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 250 N·md₁ = 30 mm, L₁ = 2.5 md₂ = 25 mm, L₂ = 1.2 mG = 80 GPa

φ_C = °

4.축의 비틀림어려움

지름 20 mm인 속이 찬 황동 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1.5 m, B에서 1 m 떨어진 C에 토크 1500 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 T_A을(를) 구하시오.

d = 20 mmT₀ = 1500 N·ma = 1.5 mb = 1 m

T_A = N·m

5.모어 원과 응력 변환보통

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 10 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θ_p을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σ_x = 0 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 40 MPa

θ_p = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −60 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = −60 MPa (σ_z = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σ_x = −60 MPaσ_y = −30 MPaτ_xy = −60 MPaσ_Y = 250 MPa

n =

7.축 응력과 변형률보통

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 35 kNd = 30 mmL = 2.5 mE = 100 GPa

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 55 kN구간 1: Ø40 mm, 1.5 m, 강철 (E = 200 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

δ = mm

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 90 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 90 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)

d = mm

11.기계 진동보통

강성 4 kN/m인 스프링에 달린 8 kg 질량에 감쇠비 0.5을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 f_d을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 8 kgk = 4 kN/mζ = 0.5

f_d = Hz

12.기계 진동어려움

20 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 100 kN/m, k₂ = 40 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 20 kgk₁ = 100 kN/mk₂ = 40 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: P = 3.393 kW

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 속도

v = 11.31 m/s

전력

P = (600 − 300)·11.31 = 3393 W = 3.393 kW

답

P = 3.393 kW

2.기어와 기어열

답: T_out = 11.24 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

n_out = 2900·(60/80)·(18/32) = 1223 rpm

ω_out = 2π·1223/60 = 128.1 rad/s

출력 동력과 토크

P_out = 1500·0.98² = 1441 W

T_out = P_out/ω_out = 1441/128.1 = 11.24 N·m

답

T_out = 11.24 N·m

3.축의 비틀림

답: φ_C = 11.23 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J₁ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

J₂ = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 250 N·m = 250000 N·mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = 250000·2500/(80000·79522) = 0.09824 rad

φ_BC = 250000·1200/(80000·38350) = 0.09778 rad

전체 비틀림각

φ_C = 0.09824 + 0.09778 = 0.196 rad = 11.23°

답

φ_C = 11.23°

4.축의 비틀림

답: T_A = 600 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 T_A + T_B = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

T_A + T_B = 1500

T_A·a = T_B·b

T_A = 1500·1/2.5 = 600 N·m

T_B = 1500·1.5/2.5 = 900 N·m

답

T_A = 600 N·m

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_p = 48.56 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θ_p = atan2(2·40, 0 − 10) = 97.13°

요소에서의 각도

θ_p = 48.56°

답

θ_p = 48.56°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 2.152

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σ_Y에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σ_Y/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

주응력

C = −45 MPa, R = 61.85 MPa

σ₁ = 16.85 MPa, σ₂ = −106.8 MPa, σ₃ = 0

폰 미제스

σ_vM = √(16.85² − 16.85·(−106.8) + (−106.8)²) = 116.2 MPa

n = 250/116.2 = 2.152

답

n = 2.152

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 1.238 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²

σ = P/A = 35·1000/706.9 = 49.51 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 49.51/100000 = 0.0004951 = 495.1 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.0004951·2500 mm = 1.238 mm

답

δ = 1.238 mm

8.축 응력과 변형률

답: δ = 6.19 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·16²/4 = 201.1 mm²

σ₁ = 43.77 MPa

σ₂ = 273.5 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 43.77·1500/200000 = 0.3283 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 273.5·1500/70000 = 5.862 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 6.19 mm

답

δ = 6.19 mm

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 6.89 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·7854/1500² = 6890 N = 6.89 kN

답

P_cr = 6.89 kN

10.기둥의 좌굴

답: d = 107.3 mm

필요한 임계 하중

P_cr = n·P = 2·90000 = 180000 N

KL = 2·2500 = 5000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·180000·5000²/(π³·70000))^(1/4) = 107.3 mm

답

d = 107.3 mm

확인: 세장비 KL/r는 186.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: f_d = 3.082 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ω_n = √(4000/8) = 22.36 rad/s

f_n = 22.36/(2π) = 3.559 Hz

감쇠 고유 진동수

f_d = f_n·√(1 − ζ²) = 3.559·√(1 − 0.5²) = 3.082 Hz

답

f_d = 3.082 Hz

12.기계 진동

답: f_n = 13.32 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 100 + 40 = 140 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(140000/20) = 83.67 rad/s

f_n = 83.67/(2π) = 13.32 Hz

답

f_n = 13.32 Hz

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