기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1500 rpm으로 도는 5.5 kW 모터가 잇수 24개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 50개인 기어와 맞물려 있다. 손실은 무시한다. 기어 축의 출력 토크 T2을(를) 구하시오.
P = 5.5 kWn1 = 1500 rpmN1 = 24N2 = 50η = 100%
T2 = N·m
2.기어와 기어열어려움
2900 rpm의 11 kW 모터가 기어 A(잇수 12개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 50개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 20개)는 출력축의 기어 D(잇수 72개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 96%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 11 kWnin = 2900 rpmA = 12B = 50C = 20D = 72ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
알루미늄 중공축(바깥지름 50 mm, 안지름 38 mm, 길이 1 m)의 한쪽 끝은 고정되어 있고 다른 쪽 끝에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 비틀림각 φ을(를) 도(°)로 구하시오.
T = 200 N·mdo = 50 mmdi = 38 mmL = 1 mG = 26 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
지름 50 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1 m, B에서 1.5 m 떨어진 C에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.
d = 50 mmT0 = 250 N·ma = 1 mb = 1.5 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 140 MPa, σᵧ = 20 MPa, τₓᵧ = −20 MPa, σz = 0. 이 점의 절대 최대 전단 응력 τabs(3차원의 모든 면 고려)을(를) 구하시오.
σx = 140 MPaσy = 20 MPaτxy = −20 MPaσz = 0
τabs = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 20 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 20 MPaσy = −50 MPaτxy = 60 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
축하중을 받는 강철 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 110 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 200 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 90 kN구간 1: Ø30 mm, 2 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø20 mm, 1 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 자유이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kNn = 3L = 6 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
강성 2 kN/m인 스프링에 달린 20 kg 질량에 감쇠비 0.5을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 20 kgk = 2 kN/mζ = 0.5
fd = Hz
12.기계 진동어려움
5 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 10 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 60 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 5 kgk1 = 10 kN/mk2 = 60 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: T2 = 72.95 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 5500/157.1 = 35.01 N·m
출력 토크
T2 = 35.01·50/24·1 = 72.95 N·m
답
T2 = 72.95 N·m
2.기어와 기어열
답: Tout = 500.7 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 2900·(12/50)·(20/72) = 193.3 rpm
ωout = 2π·193.3/60 = 20.25 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 11000·0.96² = 10138 W
Tout = Pout/ωout = 10138/20.25 = 500.7 N·m
답
Tout = 500.7 N·m
3.축의 비틀림
답: φ = 1.078 °
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트
J = π(50⁴ − 38⁴)/32 = 408885 mm⁴
비틀림각
T = 200 N·m = 200000 N·mm
L = 1 m = 1000 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = TL/(GJ) = 200000·1000/(26000·408885) = 0.01881 rad
φ = 0.01881·180/π = 1.078°
답
φ = 1.078°
4.축의 비틀림
답: TA = 150 N·m
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1.5/2.5 = 150 N·m
TB = 250·1/2.5 = 100 N·m
답
TA = 150 N·m
5.모어 원과 응력 변환
답: τabs = 71.62 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 3차원에서 절대 최대 전단 응력은 세 주응력 전체에 대한 (σmax − σmin)/2이며, 평면 응력에서는 세 번째 주응력이 0입니다.
면내 주응력
C = 80 MPa, R = √(60² + (−20)²) = 63.25 MPa
σ1 = 143.2 MPa, σ2 = 16.75 MPa, σz = 0
세 원 중 가장 큰 원
τ = max(|σ1 − σ2|, |σ1|, |σ2|)/2 = max(126.5, 143.2, 16.75)/2 = 71.62 MPa
답
τabs = 71.62 MPa
여기서는 면외 원이 지배합니다. 절대 최댓값이 면내 최댓값 R보다 큽니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 45.31 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = −15 + 35·0.866 + 60·0.5 = 45.31 MPa
답
σθ = 45.31 MPa
7.축 응력과 변형률
답: δ = 4.103 mm
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 110·1000/201.1 = 547.1 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 강철 = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 547.1/200000 = 0.002735 = 2735 µε
늘음량
δ = ε·L = 0.002735·1500 mm = 4.103 mm
답
δ = 4.103 mm
8.축 응력과 변형률
답: δ = 3.609 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·30²/4 = 706.9 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 127.3 MPa
σ2 = 286.5 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 127.3·2000/117000 = 2.176 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 286.5·1000/200000 = 1.432 mm
δ = δ1 + δ2 = 3.609 mm
답
δ = 3.609 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 7.369 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 1·2500 = 2500 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/2500² = 7369 N = 7.369 kN
답
Pcr = 7.369 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 107.5 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·30000 = 90000 N
KL = 2·6000 = 12000 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·12000²/(π³·200000))^(1/4) = 107.5 mm
답
d = 107.5 mm
확인: 세장비 KL/r는 446.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: fd = 1.378 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
비감쇠 고유 진동수
ωn = √(2000/20) = 10 rad/s
fn = 10/(2π) = 1.592 Hz
감쇠 고유 진동수
fd = fn·√(1 − ζ²) = 1.592·√(1 − 0.5²) = 1.378 Hz
답
fd = 1.378 Hz
12.기계 진동
답: keq = 8.571 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/10 + 1/60 → keq = 10·60/(10 + 60) = 8.571 kN/m
답
keq = 8.571 kN/m
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