기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
1500 rpm으로 도는 0.75 kW 모터가 잇수 24개인 피니언을 구동하고, 피니언은 잇수 72개인 기어와 맞물려 있다. 기어 쌍의 효율은 96%이다. 기어 축의 출력 토크 T2을(를) 구하시오.
P = 0.75 kWn1 = 1500 rpmN1 = 24N2 = 72η = 96%
T2 = N·m
2.기어와 기어열어려움
1450 rpm의 15 kW 모터가 기어 A(잇수 18개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 36개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 18개)는 출력축의 기어 D(잇수 80개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 97%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.
P = 15 kWnin = 1450 rpmA = 18B = 36C = 18D = 80ηmesh = 97%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
비틀림 시험에서 지름 20 mm인 속이 찬 시편에 토크 100 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 300 mm의 양 끝이 서로 2.81° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.
T = 100 N·md = 20 mmL = 300 mmφ = 2.81°
G = GPa
4.축의 비틀림어려움
지름 30 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 2.5 m, B에서 1 m 떨어진 C에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.
d = 30 mmT0 = 200 N·ma = 2.5 mb = 1 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
한 점에서 σₓ = 30 MPa, σᵧ = 100 MPa, τₓᵧ = −60 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θs을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.
σx = 30 MPaσy = 100 MPaτxy = −60 MPa
θs = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = −50 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 40° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 130 MPaσy = −50 MPaτxy = 30 MPaθ = 40°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
구리 봉의 축 변형률 ε을(를) 마이크로 변형률 (µε = 10⁻⁶)로 구하시오.
P = 105 kNd = 16 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
ε = µε
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.
P = 60 kN구간 1: Ø35 mm, 0.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 4 mE = 200 GPa (강철)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 하단 고정, 상단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 30 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 30 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 40 mm 다음 5주기 뒤에 최댓값 21.3 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 40 mmx5 = 21.3 mmn = 5
ζ =
12.기계 진동어려움
5 kg 질량이 스프링 k₃ = 12 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 10 kN/m, k₂ = 100 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.
m = 5 kgk1 = 10 kN/mk2 = 100 kN/mk3 = 12 kN/m
fn = Hz
3용액
1.기어와 기어열
답: T2 = 13.75 N·m
기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.
모터 토크
ω₁ = 2π·1500/60 = 157.1 rad/s
T1 = P/ω₁ = 750/157.1 = 4.775 N·m
출력 토크
T2 = 4.775·72/24·0.96 = 13.75 N·m
답
T2 = 13.75 N·m
2.기어와 기어열
답: Tout = 826.2 N·m
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
출력 회전 속도
nout = 1450·(18/36)·(18/80) = 163.1 rpm
ωout = 2π·163.1/60 = 17.08 rad/s
출력 동력과 토크
Pout = 15000·0.97² = 14114 W
Tout = Pout/ωout = 14114/17.08 = 826.2 N·m
답
Tout = 826.2 N·m
3.축의 비틀림
답: G = 38.94 GPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
극관성 모멘트와 각
J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴
φ = 2.81·π/180 = 0.04904 rad
전단 탄성 계수
T = 100 N·m = 100000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 100000·300/(15708·0.04904) = 38942 MPa
G = 38.94 GPa
답
G = 38.94 GPa
비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.
4.축의 비틀림
답: TA = 57.14 N·m
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.
평형과 적합 조건
TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·1/3.5 = 57.14 N·m
TB = 200·2.5/3.5 = 142.9 N·m
답
TA = 57.14 N·m
5.모어 원과 응력 변환
답: θs = 74.87 °
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각도
모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.
cos 2θs = −60/69.46 = −0.8638, sin 2θs = −(−35)/69.46 = 0.5039
2θs = atan2(35, −60) = 149.7°
요소에서의 각도
θs = 74.87°
검산: θs − θp = 74.87 − (−60.13) = 135°
답
θs = 74.87°
반시계 방향 각도가 양입니다.
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 85.17 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 40 + 90·0.1736 + 30·0.9848 = 85.17 MPa
답
σθ = 85.17 MPa
7.축 응력과 변형률
답: ε = 4463 µε
훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).
응력
A = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ = P/A = 105·1000/201.1 = 522.2 MPa
변형률 (훅의 법칙)
E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.
ε = σ/E = 522.2/117000 = 0.004463 = 4463 µε
답
ε = 4463 µε
8.축 응력과 변형률
답: δ = 1.938 mm
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 62.36 MPa
σ2 = 298.4 MPa
구간별 늘음량 더하기
δ1 = σ1L1/E1 = 62.36·500/70000 = 0.4454 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 298.4·500/100000 = 1.492 mm
δ = δ1 + δ2 = 1.938 mm
답
δ = 1.938 mm
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 209.8 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.7·4000 = 2800 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·833333/2800² = 209813 N = 209.8 kN
답
Pcr = 209.8 kN
10.기둥의 좌굴
답: d = 25.97 mm
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
필요한 임계 하중
Pcr = n·P = 3·30000 = 90000 N
KL = 0.7·1000 = 700 mm
지름에 대해 풀기
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·700²/(π³·200000))^(1/4) = 25.97 mm
답
d = 25.97 mm
확인: 세장비 KL/r는 107.8이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.
11.기계 진동
답: ζ = 0.02005
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/5)·ln(40/21.3) = 0.126
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.126/√(39.48 + 0.01588) = 0.02005
답
ζ = 0.02005
12.기계 진동
답: fn = 7.404 Hz
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.
k12 = 10 + 100 = 110 kN/m
keq = 110·12/(110 + 12) = 10.82 kN/m
고유 진동수
ωn = √(10820/5) = 46.52 rad/s
fn = 46.52/(2π) = 7.404 Hz
답
fn = 7.404 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design