기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 80 mmd2​ = 500 mm960 rpmn2​ = ?

80 mm 풀리가 960 rpm으로 돌며 미끄러짐 1.5 %인 벨트로 500 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.

n1 = 960 rpmd1 = 80 mmd2 = 500 mms = 1.5 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
Ns​ = 24링 고정Np​ = 24nc​ = ?

유성 기어 장치에서 태양 기어의 잇수는 24개, 각 유성 기어의 잇수는 24개이다. 링 기어는 고정되어 있고 태양 기어는 1200 rpm으로 구동된다. 유성 캐리어의 회전 속도 nc을(를) 구하시오.

Ns = 24Np = 24ns = 1200 rpm
nc = rpm
3.축의 비틀림보통
d1​ = 30 mmd2​ = 25 mmT = 400 N·mABC0.5 m1 m

단이 진 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 30 mm, 길이 0.5 m이고, 구간 BC는 지름 25 mm, 길이 1 m이다. 자유단 C에 토크 400 N·m이(가) 작용한다. 끝 C의 비틀림각 φC을(를) 도(°)로 구하시오.

T = 400 N·md1 = 30 mm, L1 = 0.5 md2 = 25 mm, L2 = 1 mG = 80 GPa
φC = °
4.축의 비틀림어려움
Tdo​ = 80 mm, di​ = 48 mm

속이 빈 축이 300 rpm에서 100 kW을(를) 전달한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

P = 100 kWN = 300 rpmdo = 80 mmdi = 48 mm
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −10σy​ = 40τxy​ = −30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = −10 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = −30 MPa이다(인장을 양으로 한다). x축에서 최대 주응력 방향까지의 각도 θp을(를) −90°와 90° 사이에서 구하시오.

σx = −10 MPaσy = 40 MPaτxy = −30 MPa
θp = °
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 10σy​ = 60τxy​ = −30MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 10 MPa, σᵧ = 60 MPa, τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 420 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = 10 MPaσy = 60 MPaτxy = −30 MPaσY = 420 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
300 kNØ4070 GPaØ100/60400 mmδ = ?

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa)이 알루미늄으로 만든 관(바깥지름 100 mm, 안지름 60 mm, E = 70 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 400 mm이며 강체 판 사이에서 300 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 300 kN막대: Ø40 mm, E = 200 GPa관: Ø100/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 400 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 35 mm황동2 mØ 12 mm구리1 mP = 90 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 90 kN구간 1: Ø35 mm, 2 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 구리 (E = 117 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 6 m20 × 60 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 60 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 3 md = 50 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 자유이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 200 GPa (강철)d = 50 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 80 kN/mc = 1010 N·s/mm = 20 kg

20 kg 질량이 강성 80 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 1010 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 20 kgk = 80 kN/mc = 1010 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 25k2​ = 15k3​ = 80m = 50 kg

50 kg 질량이 스프링 k₃ = 80 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 25 kN/m, k₂ = 15 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 50 kgk1 = 25 kN/mk2 = 15 kN/mk3 = 80 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n2 = 151.3 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

960·80/500 = 153.6 rpm

미끄러짐이 있을 때

n2 = 153.6·0.985 = 151.3 rpm

답

n2 = 151.3 rpm
2.기어와 기어열

답: nc = 300 rpm

유성 기어 장치: 태양 기어, 링, 캐리어의 속도는 윌리스 식 (ns − nc)/(nr − nc) = −Nr/Ns로 연결됩니다. 캐리어에서 보면 장치는 유성 기어가 아이들 기어인 보통 기어열입니다. 한 요소를 고정하면 장치는 단일 감속비의 감속기가 됩니다.

링 기어 잇수

Nr = Ns + 2·Np = 24 + 2·24 = 72

링 고정일 때의 윌리스 식

nr = 0으로 두고 캐리어 속도를 구합니다.

(1200 − nc)/(0 − nc) = −72/24
nc = ns·Ns/(Ns + Nr) = 1200·24/96 = 300 rpm

답

nc = 300 rpm

캐리어는 태양 기어와 같은 방향으로 돕니다.

3.축의 비틀림

답: φC = 9.271 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J1 = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
J2 = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

각 구간의 비틀림각

T = 400 N·m = 400000 N·mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
φAB = 400000·500/(80000·79522) = 0.03144 rad
φBC = 400000·1000/(80000·38350) = 0.1304 rad

전체 비틀림각

φC = 0.03144 + 0.1304 = 0.1618 rad = 9.271°

답

φC = 9.271°
4.축의 비틀림

답: τmax = 36.38 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 100000/31.42 = 3183 N·m

극관성 모멘트

J = π(80⁴ − 48⁴)/32 = 3.5 × 10⁶ mm⁴

최대 전단 응력

τmax = T·(do/2)/J = 3.183 × 10⁶·40/3.5 × 10⁶ = 36.38 MPa

답

τmax = 36.38 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: θp = −64.9 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCσ1​σ2​

원 위의 각도

모어 원에서 점 x는 σ축으로부터 2θp의 각도에 있습니다. 사분면은 σₓ − σᵧ와 τₓᵧ의 부호로 정해집니다.

2θp = atan2(2·−30, −10 − 40) = −129.8°

요소에서의 각도

θp = −64.9°

답

θp = −64.9°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: n = 5.515

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 35 MPa, R = 39.05 MPa
σ1 = 74.05 MPa, σ2 = −4.051 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(74.05² − 74.05·(−4.051) + (−4.051)²) = 76.16 MPa
n = 420/76.16 = 5.515

답

n = 5.515

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1989 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·40²/4 = 1257 mm²
At = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·5027 = 6.032 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 300000·400/6.032 × 10⁸ = 0.1989 mm

답

δ = 0.1989 mm
8.축 응력과 변형률

답: δ = 8.672 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 93.54 MPa
σ2 = 795.8 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 93.54·2000/100000 = 1.871 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 795.8·1000/117000 = 6.801 mm
δ = δ1 + δ2 = 8.672 mm

답

δ = 8.672 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 3.071 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/3000² = 3071 N = 3.071 kN

답

Pcr = 3.071 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 8.567 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 2·3000 = 6000 mm
KL/r = 6000/12.5 = 480

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8.567 MPa

답

σcr = 8.567 MPa
11.기계 진동

답: ζ = 0.3992

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(80000·20) = 2530 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 1010/2530 = 0.3992

답

ζ = 0.3992

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: fn = 3.676 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 25 + 15 = 40 kN/m
keq = 40·80/(40 + 80) = 26.67 kN/m

고유 진동수

ωn = √(26667/50) = 23.09 rad/s
fn = 23.09/(2π) = 3.676 Hz

답

fn = 3.676 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design