기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = ?N2​

두 평행축이 72 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 2 mm, 감속비 2 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N1은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 72 mmm = 2 mmi = 2
N1 =
2.기어와 기어열어려움
A = 40B = 72C = 15D = 36

960 rpm의 11 kW 모터가 기어 A(잇수 40개)를 구동하고, A는 기어 B(잇수 72개)와 맞물린다. B와 같은 축의 기어 C(잇수 15개)는 출력축의 기어 D(잇수 36개)를 구동한다. 각 기어 맞물림의 효율은 96%이다. 출력 토크 Tout을(를) 구하시오.

P = 11 kWnin = 960 rpmA = 40B = 72C = 15D = 36ηmesh = 96%
Tout = N·m
3.축의 비틀림보통
do​ = ?T = 250 N·m

중공축이 토크 250 N·m을(를) 받아야 한다. 안지름은 바깥지름의 0.8배로 하고, 전단 응력은 75 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 최소 바깥지름 do을(를) 구하시오.

T = 250 N·mdi/do = 0.8τallow = 75 MPa
do = mm
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 300 rpm에서 30 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 50 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 30 kWN = 300 rpmτallow = 50 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 70σy​ = 40τxy​ = 60MPa

한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = 40 MPa, τₓᵧ = 60 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 30° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = 70 MPaσy = 40 MPaτxy = 60 MPaθ = 30°
σy′ = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 80τxy​ = 60MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = 80 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 60 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.

σx = 80 MPaσy = 0 MPaτxy = 60 MPa
σvM = MPa
7.축 응력과 변형률보통
150 kNØ20100 GPaØ120/60300 mmδ = ?

강철 봉(지름 20 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 60 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 300 mm이며 강체 판 사이에서 150 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 150 kN막대: Ø20 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPaL = 300 mm
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 35 mm황동1 mØ 20 mm알루미늄2 mP = 85 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 85 kN구간 1: Ø35 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø20 mm, 2 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 5 m30 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 5 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 5 kNL = 5 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 3로 5 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 5 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 20 kN/mc = 520 N·s/mm = 150 kg

150 kg 질량이 강성 20 kN/m인 스프링과 감쇠 계수 520 N·s/m인 점성 감쇠기로 지지되어 있다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

m = 150 kgk = 20 kN/mc = 520 N·s/m
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 20k2​ = 80k3​ = 50m = 40 kg

40 kg 질량이 스프링 k₃ = 50 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 20 kN/m, k₂ = 80 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk1 = 20 kN/mk2 = 80 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N1 = 24

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.

총 잇수

N1 + N2 = 2a/m = 2·72/2 = 72

비율로 나누기

N1 = 72/(1 + 2) = 24

답

N1 = 24
2.기어와 기어열

답: Tout = 435.6 N·m

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

출력 회전 속도

nout = 960·(40/72)·(15/36) = 222.2 rpm
ωout = 2π·222.2/60 = 23.27 rad/s

출력 동력과 토크

Pout = 11000·0.96² = 10138 W
Tout = Pout/ωout = 10138/23.27 = 435.6 N·m

답

Tout = 435.6 N·m
3.축의 비틀림

답: do = 30.64 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

허용 응력에서 구한 바깥지름

T = 250 N·m = 250000 N·mm
1 − k⁴ = 1 − 0.8⁴ = 0.5904
do = ∛(16T/(π·τallow·(1 − k⁴))) = ∛(16·250000/(π·75·0.5904)) = 30.64 mm
di = 0.8·30.64 = 24.51 mm

답

do = 30.64 mm

속이 찬 축이라면 d = 25.7 mm이(가) 필요합니다. 중공축은 조금 더 크지만 훨씬 가볍습니다.

4.축의 비틀림

답: d = 45.99 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 30000/31.42 = 954.9 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·954930/(π·50)) = 45.99 mm

답

d = 45.99 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = −4.462 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = 55 − 15·0.5 − 60·0.866 = −4.462 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = 114.5 MPa, σx′ + σy′ = 110 = σx + σy

답

σy′ = −4.462 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σvM = 131.1 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 40 MPa, R = 72.11 MPa
σ1 = 112.1 MPa, σ2 = −32.11 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(112.1² − 112.1·(−32.11) + (−32.11)²) = 131.1 MPa

답

σvM = 131.1 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.04939 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

Ar = π·20²/4 = 314.2 mm²
At = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·314.2 + 100·10³·8482 = 9.111 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 150000·300/9.111 × 10⁸ = 0.04939 mm

답

δ = 0.04939 mm
8.축 응력과 변형률

답: δ = 8.614 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·35²/4 = 962.1 mm², A2 = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ1 = 88.35 MPa
σ2 = 270.6 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 88.35·1000/100000 = 0.8835 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 270.6·2000/70000 = 7.73 mm
δ = δ1 + δ2 = 8.614 mm

답

δ = 8.614 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 71.06 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/2500² = 71061 N = 71.06 kN

답

Pcr = 71.06 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 44.35 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 3·5000 = 15000 N
KL = 1·5000 = 5000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·15000·5000²/(π³·200000))^(1/4) = 44.35 mm

답

d = 44.35 mm

확인: 세장비 KL/r는 450.9이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.1501

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

임계 감쇠

cc = 2·√(k·m) = 2·√(20000·150) = 3464 N·s/m

감쇠비

ζ = c/cc = 520/3464 = 0.1501

답

ζ = 0.1501

ζ < 1이므로 이 계는 부족 감쇠이며 감쇠하면서 진동합니다.

12.기계 진동

답: fn = 4.594 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 20 + 80 = 100 kN/m
keq = 100·50/(100 + 50) = 33.33 kN/m

고유 진동수

ωn = √(33333/40) = 28.87 rad/s
fn = 28.87/(2π) = 4.594 Hz

답

fn = 4.594 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design