기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​ = ?N2​

두 평행축이 210 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 4 mm, 감속비 2.5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N1은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 210 mmm = 4 mmi = 2.5
N1 =
2.기어와 기어열어려움
A = 20B = 48C = 12D = 45

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 20개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 48개)를 구동한다. 기어 C(잇수 12개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 45개)를 구동한다. 출력 속도 nout을(를) 구하시오.

nin = 1440 rpmA = 20B = 48C = 12D = 45
nout = rpm
3.축의 비틀림보통
d = ?T = 1500 N·mL = 1.2 m

길이 1.2 m인 속이 찬 알루미늄 축이 토크 1500 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 0.5°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 1500 N·mL = 1.2 mG = 26 GPaφallow = 0.5°
d = mm
4.축의 비틀림어려움
d = 50 mmT0​ = 200 N·mACBa = 1 mb = 3 m

지름 50 mm인 속이 찬 강철 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 1 m, B에서 3 m 떨어진 C에 토크 200 N·m이(가) 가해진다. 벽 A의 반력 토크 TA을(를) 구하시오.

d = 50 mmT0 = 200 N·ma = 1 mb = 3 m
TA = N·m
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = −80σy​ = −30τxy​ = 20MPa

한 점에서 σₓ = −80 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 20 MPa이다(인장을 양으로). 요소를 반시계 방향 25° 회전한다. 회전된 y′축에 수직인 회전 요소 면의 수직 응력 σy′을(를) 구하시오.

σx = −80 MPaσy = −30 MPaτxy = 20 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −20τxy​ = −10MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −20 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = −10 MPa (σz = 0). 재료의 항복 강도는 250 MPa이다. 폰 미제스(전단 변형 에너지) 기준에 따른 항복에 대한 안전율 n을(를) 구하시오.

σx = −20 MPaσy = 0 MPaτxy = −10 MPaσY = 250 MPa
n =
7.축 응력과 변형률보통
P = ?12600 mm400 mmØ40Ø30δ = 0.25 mm

막대가 강철 구간(지름 40 mm, 길이 600 mm, E = 200 GPa)과 구리으로 만든 구간(지름 30 mm, 길이 400 mm, E = 120 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.25 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø40 mm, 600 mm, E = 200 GPa구간 2: 구리, Ø30 mm, 400 mm, E = 120 GPaδ = 0.25 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
30 kN12300 mm500 mmØ30Ø40σ2​ = ?

강철 구간(지름 30 mm, 길이 300 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 40 mm, 길이 500 mm, E = 110 GPa)이 끝에서 끝으로 이어져 두 강체 벽 사이에 고정되어 있습니다. 이음부에 구간 2 쪽으로 향하는 30 kN의 축하중이 작용합니다. 구간 2의 응력 크기 σ2을(를) 구하시오.

구간 1: 강철, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 30 kN
σ2 = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 6 m25 × 80 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 25 × 80 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
PL = 1.5 md = 20 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 200 GPa (강철)d = 20 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
k = 100 kN/mζ = 0.35m = 250 kg

강성 100 kN/m인 스프링에 달린 250 kg 질량에 감쇠비 0.35을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 250 kgk = 100 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.기계 진동어려움
k1​ = 12k2​ = 25m = 40 kg

40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 12 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 25 kN/m이다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk1 = 12 kN/mk2 = 25 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N1 = 30

Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.

총 잇수

N1 + N2 = 2a/m = 2·210/4 = 105

비율로 나누기

N1 = 105/(1 + 2.5) = 30

답

N1 = 30
2.기어와 기어열

답: nout = 160 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

1단

nB = 1440·20/48 = 600 rpm = nC

2단

nout = 600·12/45 = 160 rpm

답

nout = 160 rpm

전체 기어비 = 9 : 1

3.축의 비틀림

답: d = 94.81 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 1500 N·m = 1.5 × 10⁶ N·mm
L = 1.2 m = 1200 mm
G = 26 GPa = 26000 MPa
φ = 0.5·π/180 = 0.008727 rad
J = TL/(Gφ) = 1.5 × 10⁶·1200/(26000·0.008727) = 7.933 × 10⁶ mm⁴

지름

d = (32J/π)1/4 = 94.81 mm

답

d = 94.81 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: TA = 150 N·m

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 200
TA·a = TB·b
TA = 200·3/4 = 150 N·m
TB = 200·1/4 = 50 N·m

답

TA = 150 N·m
5.모어 원과 응력 변환

답: σy′ = −54.25 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

y′ 면의 변환 공식

σy′ = −55 − (−25)·0.6428 − 20·0.766 = −54.25 MPa

검산

수직 응력의 합은 회전해도 변하지 않습니다.

σx′ = −55.75 MPa, σx′ + σy′ = −110 = σx + σy

답

σy′ = −54.25 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: n = 9.449

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = −10 MPa, R = 14.14 MPa
σ1 = 4.142 MPa, σ2 = −24.14 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(4.142² − 4.142·(−24.14) + (−24.14)²) = 26.46 MPa
n = 250/26.46 = 9.449

답

n = 9.449

n > 1이면 그 점은 항복하지 않습니다. 트레스카가 폰 미제스보다 약간 더 보수적입니다.

7.축 응력과 변형률

답: P = 35.2 kN

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706.9 mm²

유연도

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·1257) = 2.387 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(120000·706.9) = 4.716 × 10⁻⁶ mm/N

하중

P = 0.25/7.103 × 10⁻⁶ = 35196 N = 35.2 kN

답

P = 35.2 kN
8.축 응력과 변형률

답: σ2 = 8.827 MPa

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

강성

k₁ = 200000·706.9/300 = 471239 N/mm
k₂ = 110000·1257/500 = 276460 N/mm

구간 2의 몫

F2 = 30000·276460/747699 = 11092 N

응력

σ2 = 11092/1257 = 8.827 MPa (압축)

답

σ2 = 8.827 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 5.712 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·6000 = 6000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·104167/6000² = 5712 N = 5.712 kN

답

Pcr = 5.712 kN
10.기둥의 좌굴

답: σcr = 44.76 MPa

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 314.2 mm²
r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm
KL = 0.7·1500 = 1050 mm
KL/r = 1050/5 = 210

임계 응력

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44.76 MPa

답

σcr = 44.76 MPa
11.기계 진동

답: fd = 2.982 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ωn = √(100000/250) = 20 rad/s
fn = 20/(2π) = 3.183 Hz

감쇠 고유 진동수

fd = fn·√(1 − ζ²) = 3.183·√(1 − 0.35²) = 2.982 Hz

답

fd = 2.982 Hz
12.기계 진동

답: fn = 2.266 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.

1/keq = 1/12 + 1/25 → keq = 12·25/(12 + 25) = 8.108 kN/m

고유 진동수

ωn = √(8108/40) = 14.24 rad/s
fn = 14.24/(2π) = 2.266 Hz

답

fn = 2.266 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design