기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

줄 수 2인 웜이 1450 rpm으로 돌며 잇수 36개인 웜 휠을 구동한다. 휠의 회전 속도 n_w을(를) 구하시오.

z = 2N_w = 36n = 1450 rpm

n_w = rpm

2.기어와 기어열어려움

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 12개)가 3000 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 36개)를 구동한다. 기어 C(잇수 40개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D(잇수 45개)를 구동한다. 출력 속도 n_out을(를) 구하시오.

n_in = 3000 rpmA = 12B = 36C = 40D = 45

n_out = rpm

3.축의 비틀림보통

길이 1.5 m인 속이 찬 황동 축이 토크 400 N·m을(를) 받는다. 양 끝 사이의 비틀림각은 2°를 넘을 수 없다. 이 한계를 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

T = 400 N·mL = 1.5 mG = 39 GPaφ_allow = 2°

d = mm

4.축의 비틀림어려움

속이 찬 알루미늄 축이 500 rpm에서 50 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.25°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 0.25°/mG = 26 GPa

d = mm

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = −70 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로). 전단 응력이 최대 양의 값 +R(τₓᵧ와 같은 방향의 전단을 양으로)을 갖는 면의 법선이 x축과 이루는 각 θ_s을(를) −90°에서 90° 사이로 구하시오.

σ_x = −70 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

6.모어 원과 응력 변환어려움

지름 40 mm인 속이 찬 축이 휨 모멘트 1000 N·m와(과) 토크 750 N·m를 함께 받는다. 휨 응력이 인장이면서 가장 큰 윗면에서 최대 주응력 σ₁을(를) 구하시오.

d = 40 mmM = 1000 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 25 mm, E = 200 GPa)이 청동으로 만든 관(바깥지름 80 mm, 안지름 60 mm, E = 110 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 80 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kN막대: Ø25 mm, E = 200 GPa관: Ø80/Ø60 mm, E = 110 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

강철 봉(지름 40 mm, E = 200 GPa, 허용응력 120 MPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 70 mm, E = 100 GPa, 허용응력 100 MPa) 안에 들어 있습니다. 둘은 강체 판 사이에서 함께 압축됩니다. 최대 하중 P_max을(를) 구하시오.

막대: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPa관: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 50 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 2 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 12 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 0.6 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 12 mmx₄ = 0.6 mmn = 4

ζ =

12.기계 진동어려움

40 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 20 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 20 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: n_w = 80.56 rpm

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

휠 속도

n_w = n·z/N_w = 1450·2/36 = 80.56 rpm

답

n_w = 80.56 rpm

2.기어와 기어열

답: n_out = 888.9 rpm

1단

n_B = 3000·12/36 = 1000 rpm = n_C

2단

n_out = 1000·40/45 = 888.9 rpm

답

n_out = 888.9 rpm

전체 기어비 = 3.375 : 1

3.축의 비틀림

답: d = 46.03 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

필요한 극관성 모멘트

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 1.5 m = 1500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 2·π/180 = 0.03491 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·1500/(39000·0.03491) = 440737 mm⁴

지름

d = (32J/π)^1/4 = 46.03 mm

답

d = 46.03 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

4.축의 비틀림

답: d = 96.23 mm

토크

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52.36 rad/s

T = P/ω = 50000/52.36 = 954.9 N·m

강도 기준 지름

T = 954.9 N·m = 954930 N·mm

d_τ = ∛(16·954930/(π·50)) = 45.99 mm

강성 기준 지름

θ = 0.25·π/180/1000 = 4.363 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·954930/(π·26000·4.363 × 10⁻⁶))^1/4 = 96.23 mm

지배 지름

두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.

d = max(45.99, 96.23) = 96.23 mm

답

d = 96.23 mm

여기서는 강성이 지배합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: θ_s = 29 °

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

원 위의 각도

모어 원에서 꼭대기 점(+R)은 주응력 점 σ₁에서 90° 떨어져 있고, 요소에서는 45°입니다.

cos 2θ_s = 50/94.34 = 0.53, sin 2θ_s = −(−80)/94.34 = 0.848

2θ_s = atan2(80, 50) = 57.99°

요소에서의 각도

θ_s = 29°

검산: θ_s − θ_p = 29 − 74 = −45°

답

θ_s = 29°

반시계 방향 각도가 양입니다.

6.모어 원과 응력 변환

답: σ₁ = 179 MPa

표면의 응력

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·40³) = 159.2 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·40³) = 59.68 MPa

모어 원

C = σ/2 = 79.58 MPa

R = √(79.58² + 59.68²) = 99.47 MPa

σ₁ = C + R = 179 MPa

σ₂ = C − R = −19.89 MPa

답

σ₁ = 179 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1882 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·25²/4 = 490.9 mm²

A_t = π(80² − 60²)/4 = 2199 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·490.9 + 110·10³·2199 = 3.401 × 10⁸ N

줄어든 길이

δ = 80000·800/3.401 × 10⁸ = 0.1882 mm

답

δ = 0.1882 mm

8.축 응력과 변형률

답: P_max = 598.5 kN

넓이

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·1257 + 100·10³·7461 = 9.975 × 10⁸ N

지배 변형률

ε = min(0.0006, 0.001) = 0.0006 (강철)

최대 하중

P_max = 0.0006·9.975 × 10⁸ = 598473 N = 598.5 kN

답

P_max = 598.5 kN

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 23.55 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·3000 = 3000 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23.55 kN

답

P_cr = 23.55 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 13.77 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/6.25 = 224

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13.77 MPa

답

σ_cr = 13.77 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.1184

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/4)·ln(12/0.6) = 0.7489

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.7489/√(39.48 + 0.5609) = 0.1184

답

ζ = 0.1184

12.기계 진동

답: f_n = 7.118 Hz

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k₁ + k₂.

k_eq = 60 + 20 = 80 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(80000/40) = 44.72 rad/s

f_n = 44.72/(2π) = 7.118 Hz

답

f_n = 7.118 Hz

ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design