기어와 기어열
- 맞물린 기어
- n1·N1 = n2·N2
- 토크
- T2 = T1·(N2/N1)·η
- 전력
- P = T·ω, ω = 2π·n/60
- 복합 기어열
- 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱
기계설계: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
축의 비틀림
- 전단 응력
- τ = T·r/J
- 중실축
- J = πd⁴/32
- 중공축
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- 비틀림각
- φ = TL/(GJ)
- 전력
- P = T·ω = 2πnT/60
방법
- 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
- 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
- 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
- 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.
모어 원과 응력 변환
- 중심
- C = (σx + σy)/2
- 반지름
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- 주응력
- σ1,2 = C ± R
- 주방향
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- 경사면의 응력
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
방법
- 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
- 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
- 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
축 응력과 변형률
- 수직 응력
- σ = F/A
- 변형률
- ε = ΔL/L
- 훅의 법칙
- σ = E·ε
- 늘음량
- ΔL = FL/(EA)
- 열변형률
- εT = α·ΔT
기둥의 좌굴
- 오일러 좌굴 하중
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 유효 좌굴 길이 계수
- K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
- 임계 응력
- σcr = Pcr/A
- 세장비
- λ = KL/r, r = √(I/A)
기계 진동
- 고유 진동수
- ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
- 정적 처짐으로부터
- ωn = √(g/δst)
- 임계 감쇠
- cc = 2√(km) = 2mωn
- 감쇠비
- ζ = c/cc
- 감쇠 고유 진동수
- ωd = ωn√(1 − ζ²)
- 대수 감쇠율
- δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
- 병렬 스프링
- k = k1 + k2
- 직렬 스프링
- 1/k = 1/k1 + 1/k2
2연습 문제
1.기어와 기어열보통
벨트가 120 mm 구동 풀리 위를 960 rpm으로 달립니다. 장력은 긴장측 500 N, 이완측 200 N입니다. 전달 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
d1 = 120 mmn1 = 960 rpmT1 = 500 NT2 = 200 N
P = kW
2.기어와 기어열어려움
평벨트가 120 mm 풀리와 315 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 1000 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.
d1 = 120 mmd2 = 315 mmC = 1000 mm
θ = °
3.축의 비틀림보통
단이 진 속이 찬 알루미늄 축이 A에서 고정되어 있다. 구간 AB는 지름 50 mm, 길이 3 m이고, 구간 BC는 지름 30 mm, 길이 3 m이다. 자유단 C에 토크 1000 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
T = 1000 N·md1 = 50 mm, L1 = 3 md2 = 30 mm, L2 = 3 m
τmax = MPa
4.축의 비틀림어려움
속이 찬 황동 축이 1000 rpm에서 10 kW을(를) 전달한다. 전단 응력은 50 MPa을(를) 넘지 않아야 하고, 비틀림각은 길이 m당 0.5°를 넘지 않아야 한다. 두 한계를 모두 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.
P = 10 kWN = 1000 rpmτallow = 50 MPaθallow = 0.5°/mG = 39 GPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = −40 MPa, τₓᵧ = 40 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.
σx = 60 MPaσy = −40 MPaτxy = 40 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 130 MPa, σᵧ = 90 MPa, τₓᵧ = 50 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 15° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.
σx = 130 MPaσy = 90 MPaτxy = 50 MPaθ = 15°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
막대가 강철 구간(지름 20 mm, 길이 400 mm, E = 200 GPa)과 청동으로 만든 구간(지름 60 mm, 길이 200 mm, E = 110 GPa)을 끝에서 끝으로 이어서 만들어져 있습니다. 한쪽 끝은 고정되고 다른 쪽 끝은 당겨집니다. 전체가 0.3 mm 늘어나게 하는 축하중 P을(를) 구하시오.
구간 1: 강철, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPa구간 2: 청동, Ø60 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0.3 mm
P = kN
8.축 응력과 변형률어려움
계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.
P = 95 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)구간 2: Ø16 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
길이 L인 강철 기둥이 양단 고정이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 200 GPa (강철)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
길이 L인 강철 기둥이 하단 고정, 상단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σcr을(를) 구하시오.
L = 6 mE = 200 GPa (강철)d = 80 mm
σcr = MPa
11.기계 진동보통
감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 12 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 1 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.
x0 = 12 mmx4 = 1 mmn = 4
ζ =
12.기계 진동어려움
40 kg 질량이 끝과 끝을 이은(직렬) 두 스프링에 매달려 있다. 위 스프링은 k₁ = 20 kN/m, 아래 스프링은 k₂ = 50 kN/m이다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.
m = 40 kgk1 = 20 kN/mk2 = 50 kN/m
keq = kN/m
3용액
1.기어와 기어열
답: P = 1.81 kW
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 속도
v = 6.032 m/s
전력
P = (500 − 200)·6.032 = 1810 W = 1.81 kW
답
P = 1.81 kW
2.기어와 기어열
답: θ = 168.8 °
벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.
벨트 각도
asin(0.0975) = 5.595°
접촉각
θ = 180 − 2·5.595 = 168.8°
답
θ = 168.8°
3.축의 비틀림
답: τmax = 188.6 MPa
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
각 구간의 응력
T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm
τAB = 16·1 × 10⁶/(π·50³) = 40.74 MPa
τBC = 16·1 × 10⁶/(π·30³) = 188.6 MPa
답
τmax = 188.6 MPa
4.축의 비틀림
답: d = 41.12 mm
원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.
토크
ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s
T = P/ω = 10000/104.7 = 95.49 N·m
강도 기준 지름
T = 95.49 N·m = 95493 N·mm
dτ = ∛(16·95493/(π·50)) = 21.35 mm
강성 기준 지름
θ = 0.5·π/180/1000 = 8.727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 39 GPa = 39000 MPa
dφ = (32·95493/(π·39000·8.727 × 10⁻⁶))1/4 = 41.12 mm
지배 지름
두 한계가 모두 성립해야 하므로 큰 지름이 지배합니다.
d = max(21.35, 41.12) = 41.12 mm
답
d = 41.12 mm
여기서는 강성이 지배합니다.
5.모어 원과 응력 변환
답: τmax = 64.03 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
모어 원의 반지름
τmax = R = √(((60 − −40)/2)² + 40²) = 64.03 MPa
답
τmax = 64.03 MPa
6.모어 원과 응력 변환
답: σθ = 152.3 MPa
평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
변환 식
σθ = 110 + 20·0.866 + 50·0.5 = 152.3 MPa
답
σθ = 152.3 MPa
7.축 응력과 변형률
답: P = 42.8 kN
두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 Pi = P·EiAi/ΣEA, σi = Ei·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.
넓이
A₁ = 314.2 mm², A₂ = 2827 mm²
유연도
L₁/(E₁A₁) = 400/(200000·314.2) = 6.366 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·2827) = 6.431 × 10⁻⁷ mm/N
하중
P = 0.3/7.009 × 10⁻⁶ = 42801 N = 42.8 kN
답
P = 42.8 kN
8.축 응력과 변형률
답: σmax = 472.5 MPa
축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.
두 구간에 같은 힘
자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.
A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 193.5 MPa
σ2 = 472.5 MPa
최대 응력
가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.
σmax = 472.5 MPa
답
σmax = 472.5 MPa
9.기둥의 좌굴
답: Pcr = 19.74 kN
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
유효 좌굴 길이
KL = 0.5·6000 = 3000 mm
임계 하중
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/3000² = 19739 N = 19.74 kN
답
Pcr = 19.74 kN
10.기둥의 좌굴
답: σcr = 44.76 MPa
오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.
최소 단면 2차 모멘트
원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
회전 반경과 세장비
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/20 = 210
임계 응력
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44.76 MPa
답
σcr = 44.76 MPa
11.기계 진동
답: ζ = 0.09839
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
대수 감쇠율
δ = (1/4)·ln(12/1) = 0.6212
감쇠비
ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.6212/√(39.48 + 0.3859) = 0.09839
답
ζ = 0.09839
12.기계 진동
답: keq = 14.29 kN/m
질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
등가 강성
직렬 스프링은 같은 힘을 받고 처짐이 더해지므로 역수로 합성합니다: 1/k = 1/k1 + 1/k2.
1/keq = 1/20 + 1/50 → keq = 20·50/(20 + 50) = 14.29 kN/m
답
keq = 14.29 kN/m
ExamProblems · examproblems.com/courses/machine-design