기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
d1​ = 160 mmd2​ = 500 mm720 rpmn2​ = ?

160 mm 풀리가 720 rpm으로 돌며 미끄러짐 1 %인 벨트로 500 mm 풀리를 구동합니다. 종동 풀리의 속도 n2을(를) 구하시오.

n1 = 720 rpmd1 = 160 mmd2 = 500 mms = 1 %
n2 = rpm
2.기어와 기어열어려움
A = 24B = 32C = 16D = ?

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 24개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 32개)를 구동한다. 기어 C(잇수 16개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 960 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 ND은(는) 몇 개여야 하는가?

nin = 1440 rpmA = 24B = 32C = 16nout = 960 rpm
ND =
3.축의 비틀림보통
T = 400 N·md = 25 mmL = 0.8 mφ = ?

강철 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 400 N·md = 25 mmL = 0.8 mG = 80 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
d = 40 mmT0​ = 250 N·mACBa = 2.5 mb = 1.2 m

지름 40 mm인 속이 찬 알루미늄 축의 양 끝 A와 B가 강체 벽에 고정되어 있다. A에서 2.5 m, B에서 1.2 m 떨어진 C에 토크 250 N·m이(가) 가해진다. 축의 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

d = 40 mmT0 = 250 N·ma = 2.5 mb = 1.2 m
τmax = MPa
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 60σy​ = 30MPaτxy​ = ?

한 점에서 σₓ = 60 MPa, σᵧ = 30 MPa이다. 최대 주응력이 110 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τxy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σx = 60 MPaσy = 30 MPaσ1 = 110 MPa
τxy = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = 70σy​ = −30τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 70 MPa, σᵧ = −30 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 법선이 x축에서 반시계 방향으로 50° 회전한 면의 수직 응력 σθ을(를) 구하시오.

σx = 70 MPaσy = −30 MPaτxy = 30 MPaθ = 50°
σθ = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 30 mm구리1.5 mP = 95 kN

축하중을 받는 구리 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 95 kNd = 30 mmL = 1.5 mE = 117 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 25 mm황동1 mØ 12 mm황동1.5 mP = 45 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σmax을(를) 구하시오.

P = 45 kN구간 1: Ø25 mm, 1 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1.5 m, 황동 (E = 100 GPa)
σmax = MPa
9.기둥의 좌굴보통
PL = 3 m25 × 50 mm단면

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 25 × 50 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 70 kNL = 2 md = ?단면

길이 L인 강철 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2.5로 70 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 70 kNn = 2.5L = 2 mE = 200 GPa (강철)
d = mm
11.기계 진동보통
k = 25 kN/mζ = 0.35m = 80 kg

강성 25 kN/m인 스프링에 달린 80 kg 질량에 감쇠비 0.35을(를) 주는 점성 감쇠기가 있다. 자유 진동의 감쇠 고유 진동수 fd을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 80 kgk = 25 kN/mζ = 0.35
fd = Hz
12.기계 진동어려움
k1​ = 80k2​ = 12m = 5 kg

5 kg 질량이 나란히 놓인(병렬) 두 스프링에 매달려 있으며 강성은 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 12 kN/m이다. 질량은 수평을 유지한다. 스프링계의 등가 강성 keq을(를) kN/m 단위로 구하시오.

m = 5 kgk1 = 80 kN/mk2 = 12 kN/m
keq = kN/m

3용액

1.기어와 기어열

답: n2 = 228.1 rpm

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = eμθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

미끄러짐 없을 때의 속도

720·160/500 = 230.4 rpm

미끄러짐이 있을 때

n2 = 230.4·0.99 = 228.1 rpm

답

n2 = 228.1 rpm
2.기어와 기어열

답: ND = 18

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

중간축 속도

nB = nC = 1440·24/32 = 1080 rpm

기어 D의 잇수

ND = C·nC/nout = 16·1080/960 = 18

답

ND = 18
3.축의 비틀림

답: φ = 5.976 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 400·1000·800/(80000·38350) = 0.1043 rad
φ = 0.1043·180/π = 5.976°

답

φ = 5.976°
4.축의 비틀림

답: τmax = 13.44 MPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다. 양 끝이 고정되면 정역학만으로는 TA + TB = T₀만 나옵니다. 두 번째 방정식은 적합 조건(하중 단면에서 두 부분의 비틀림각이 같음)입니다.

평형과 적합 조건

TA + TB = 250
TA·a = TB·b
TA = 250·1.2/3.7 = 81.08 N·m
TB = 250·2.5/3.7 = 168.9 N·m

최대 전단 응력

두 토크 중 큰 값이 지배합니다(지름이 같음).

τmax = 16·168919/(π·40³) = 13.44 MPa

답

τmax = 13.44 MPa
5.모어 원과 응력 변환

답: τxy = 63.25 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (60 + 30)/2 = 45 MPa
R = σ1 − C = 110 − 45 = 65 MPa
στxyCσ1​σ2​

전단 응력

τxy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 15²) = 63.25 MPa

답

τxy = 63.25 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σθ = 40.86 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

변환 식

σθ = 20 + 50·−0.1736 + 30·0.9848 = 40.86 MPa

답

σθ = 40.86 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 1.723 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·30²/4 = 706.9 mm²
σ = P/A = 95·1000/706.9 = 134.4 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 구리 = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 134.4/117000 = 0.001149 = 1149 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.001149·1500 mm = 1.723 mm

답

δ = 1.723 mm
8.축 응력과 변형률

답: σmax = 397.9 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·25²/4 = 490.9 mm², A2 = π·12²/4 = 113.1 mm²
σ1 = 91.67 MPa
σ2 = 397.9 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σmax = 397.9 MPa

답

σmax = 397.9 MPa
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 4.998 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·3000 = 3000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/3000² = 4998 N = 4.998 kN

답

Pcr = 4.998 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 51.84 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2.5·70000 = 175000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·175000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 51.84 mm

답

d = 51.84 mm

확인: 세장비 KL/r는 154.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: fd = 2.636 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

비감쇠 고유 진동수

ωn = √(25000/80) = 17.68 rad/s
fn = 17.68/(2π) = 2.813 Hz

감쇠 고유 진동수

fd = fn·√(1 − ζ²) = 2.813·√(1 − 0.35²) = 2.636 Hz

답

fd = 2.636 Hz
12.기계 진동

답: keq = 92 kN/m

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

나란히 놓인 스프링은 처짐이 같고 힘이 더해지므로 강성을 그냥 더합니다: k = k1 + k2.

keq = 80 + 12 = 92 kN/m

답

keq = 92 kN/m

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