기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어
n1·N1 = n2·N2
토크
T2 = T1·(N2/N1)·η
전력
P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열
전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력
τ = T·r/J
중실축
J = πd⁴/32
중공축
J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각
φ = TL/(GJ)
전력
P = T·ω = 2πnT/60

방법

  1. 극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
  2. 표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
  3. 비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
  4. 동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심
C = (σx + σy)/2
반지름
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
주응력
σ1,2 = C ± R
주방향
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
경사면의 응력
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

방법

  1. 모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
  2. 반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
  4. 원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력
σ = F/A
변형률
ε = ΔL/L
훅의 법칙
σ = E·ε
늘음량
ΔL = FL/(EA)
열변형률
εT = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중
Pcr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수
K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력
σcr = Pcr/A
세장비
λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수
ωn = √(k/m), fn = ωn/(2π)
정적 처짐으로부터
ωn = √(g/δst)
임계 감쇠
cc = 2√(km) = 2mωn
감쇠비
ζ = c/cc
감쇠 고유 진동수
ωd = ωn√(1 − ζ²)
대수 감쇠율
δ = (1/n)·ln(x0/xn), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링
k = k1 + k2
직렬 스프링
1/k = 1/k1 + 1/k2

2연습 문제

1.기어와 기어열보통
N1​N2​ = ?

두 평행축이 93.75 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 1.5 mm, 감속비 4 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N2은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 93.75 mmm = 1.5 mmi = 4
N2 =
2.기어와 기어열어려움
A = 72B = 80C = 50D = ?

복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 72개)가 1500 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 80개)를 구동한다. 기어 C(잇수 50개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 1125 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 ND은(는) 몇 개여야 하는가?

nin = 1500 rpmA = 72B = 80C = 50nout = 1125 rpm
ND =
3.축의 비틀림보통
T = 200 N·md = 30 mmL = 0.8 mφ = ?

황동 재질의 속이 찬 축이 벽에 고정되어 자유단에서 토크 T로 비틀린다. 자유단의 비틀림각 φ을(를) 도 단위로 구하시오.

T = 200 N·md = 30 mmL = 0.8 mG = 39 GPa
φ = °
4.축의 비틀림어려움
Td = ?

속이 찬 축이 300 rpm에서 50 kW을(를) 전달해야 하며 전단 응력이 80 MPa을(를) 넘으면 안 된다. 조건을 만족하는 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 50 kWN = 300 rpmτallow = 80 MPa
d = mm
5.모어 원과 응력 변환보통
σx​ = 0σy​ = 0τxy​ = 30MPa

하중을 받는 부품의 한 점에서 σₓ = 0 MPa, σᵧ = 0 MPa, τₓᵧ = 30 MPa이다(인장을 양으로 한다). 면내 최대 전단 응력 τmax을(를) 구하시오.

σx = 0 MPaσy = 0 MPaτxy = 30 MPa
τmax = MPa
6.모어 원과 응력 변환어려움
σx​ = −10σy​ = 70τxy​ = 50MPa

얇은 판의 한 점이 평면 응력 상태이다: σₓ = −10 MPa, σᵧ = 70 MPa, τₓᵧ = 50 MPa (σz = 0). 폰 미제스 상당 응력 σvM을(를) 구하시오.

σx = −10 MPaσy = 70 MPaτxy = 50 MPa
σvM = MPa
7.축 응력과 변형률보통
Ø 20 mm황동1.5 mP = 80 kN

축하중을 받는 황동 봉의 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 80 kNd = 20 mmL = 1.5 mE = 100 GPa
δ = mm
8.축 응력과 변형률어려움
Ø 40 mm황동0.5 mØ 16 mm강철2 mP = 90 kN

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 전체 늘음량 δ을(를) 구하시오.

P = 90 kN구간 1: Ø40 mm, 0.5 m, 황동 (E = 100 GPa)구간 2: Ø16 mm, 2 m, 강철 (E = 200 GPa)
δ = mm
9.기둥의 좌굴보통
PL = 1 m20 × 100 mm단면

길이 L인 강철 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 Pcr을(를) 구하시오.

L = 1 mE = 200 GPa (강철)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.기둥의 좌굴어려움
P = 100 kNL = 2.5 md = ?단면

길이 L인 알루미늄 원형 기둥(속이 참)이 양단 핀이다. 좌굴에 대한 안전율 2로 100 kN을(를) 지지해야 한다. 최소 지름 d을(를) 구하시오.

P = 100 kNn = 2L = 2.5 mE = 70 GPa (알루미늄)
d = mm
11.기계 진동보통
tx15 mm1주기11.7 mm

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 15 mm 다음 한 주기 뒤에 최댓값 11.7 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x0 = 15 mmx1 = 11.7 mmn = 1
ζ =
12.기계 진동어려움
k1​ = 80k2​ = 40k3​ = 50m = 25 kg

25 kg 질량이 스프링 k₃ = 50 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 80 kN/m, k₂ = 40 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 fn을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 25 kgk1 = 80 kN/mk2 = 40 kN/mk3 = 50 kN/m
fn = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N2 = 100

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: Ft = 2T/d.

총 잇수

N1 + N2 = 2a/m = 2·93.75/1.5 = 125

비율로 나누기

N1 = 125/(1 + 4) = 25
N2 = 4·25 = 100

답

N2 = 100
2.기어와 기어열

답: ND = 60

기어열: 맞물린 기어는 이에서의 속도가 같으므로 n₁·N₁ = n₂·N₂입니다. 잇수가 적은 기어가 더 빨리 돕니다. 같은 축에 있는 기어는 같은 속도로 돕니다. 동력은 (손실을 빼고) 그대로 전달되므로 속도가 줄면 토크가 커집니다: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, 그리고 P = T·ω, ω = 2π·n/60.

중간축 속도

nB = nC = 1500·72/80 = 1350 rpm

기어 D의 잇수

ND = C·nC/nout = 50·1350/1125 = 60

답

ND = 60
3.축의 비틀림

답: φ = 2.956 °

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

비틀림각

φ = TL/(GJ) = 200·1000·800/(39000·79522) = 0.05159 rad
φ = 0.05159·180/π = 2.956°

답

φ = 2.956°
4.축의 비틀림

답: d = 46.62 mm

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τmax = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(do⁴ − di⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

토크

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31.42 rad/s
T = P/ω = 50000/31.42 = 1592 N·m

허용 응력에서 지름 구하기

d = ∛(16T/(π·τallow)) = ∛(16·1.592 × 10⁶/(π·80)) = 46.62 mm

답

d = 46.62 mm

실제로는 다음 표준 치수로 올림합니다.

5.모어 원과 응력 변환

답: τmax = 30 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

στxyCτmax​

모어 원의 반지름

τmax = R = √(((0 − 0)/2)² + 30²) = 30 MPa

답

τmax = 30 MPa
6.모어 원과 응력 변환

답: σvM = 114.9 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 항복 기준: 폰 미제스는 σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²)가 σY에 도달할 때, 트레스카는 절대 최대 전단 응력이 σY/2에 도달할 때 항복을 예측합니다.

στxyCσ1​σ2​

주응력

C = 30 MPa, R = 64.03 MPa
σ1 = 94.03 MPa, σ2 = −34.03 MPa, σ3 = 0

폰 미제스

σvM = √(94.03² − 94.03·(−34.03) + (−34.03)²) = 114.9 MPa

답

σvM = 114.9 MPa
7.축 응력과 변형률

답: δ = 3.82 mm

훅의 법칙: 탄성 범위에서 σ = E·ε. σ = P/A, ε = δ/L과 결합하면 δ = PL/(AE).

응력

A = π·20²/4 = 314.2 mm²
σ = P/A = 80·1000/314.2 = 254.6 MPa

변형률 (훅의 법칙)

E for 황동 = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 254.6/100000 = 0.002546 = 2546 µε

늘음량

δ = ε·L = 0.002546·1500 mm = 3.82 mm

답

δ = 3.82 mm
8.축 응력과 변형률

답: δ = 4.834 mm

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A1 = π·40²/4 = 1257 mm², A2 = π·16²/4 = 201.1 mm²
σ1 = 71.62 MPa
σ2 = 447.6 MPa

구간별 늘음량 더하기

δ1 = σ1L1/E1 = 71.62·500/100000 = 0.3581 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 447.6·2000/200000 = 4.476 mm
δ = δ1 + δ2 = 4.834 mm

답

δ = 4.834 mm
9.기둥의 좌굴

답: Pcr = 131.6 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1000 = 1000 mm

임계 하중

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1000² = 131595 N = 131.6 kN

답

Pcr = 131.6 kN
10.기둥의 좌굴

답: d = 77.92 mm

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 Pcr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

필요한 임계 하중

Pcr = n·P = 2·100000 = 200000 N
KL = 1·2500 = 2500 mm

지름에 대해 풀기

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·200000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 77.92 mm

답

d = 77.92 mm

확인: 세장비 KL/r는 128.3이므로 기둥은 세장하고 오일러 공식을 적용할 수 있습니다.

11.기계 진동

답: ζ = 0.03951

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/1)·ln(15/11.7) = 0.2485

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.2485/√(39.48 + 0.06173) = 0.03951

답

ζ = 0.03951
12.기계 진동

답: fn = 5.98 Hz

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ωn = √(k/m), Hz 단위로 fn = ωn/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/cc를 주며, 임계 감쇠 계수는 cc = 2·√(k·m) = 2·m·ωn입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ωd = ωn·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

등가 강성

k1과 k2만 병렬입니다. 그 쌍이 k3와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k12 = 80 + 40 = 120 kN/m
keq = 120·50/(120 + 50) = 35.29 kN/m

고유 진동수

ωn = √(35294/25) = 37.57 rad/s
fn = 37.57/(2π) = 5.98 Hz

답

fn = 5.98 Hz

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