기계설계: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

기어와 기어열

맞물린 기어: n₁·N₁ = n₂·N₂
토크: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η
전력: P = T·ω, ω = 2π·n/60
복합 기어열: 전체 기어비 = 각 단 기어비의 곱

축의 비틀림

전단 응력: τ = T·r/J
중실축: J = πd⁴/32
중공축: J = π(D⁴ − d⁴)/32
비틀림각: φ = TL/(GJ)
전력: P = T·ω = 2πnT/60

방법

극관성 모멘트를 구하세요: 중실축은 J = πd⁴/32.
표면의 전단 응력: τ = T·r/J, r은 바깥 반지름.
비틀림각: φ = TL/(GJ), 단위는 라디안.
동력이 주어지면 P = T·ω, ω = 2πn/60으로 먼저 토크를 구하세요.

모어 원과 응력 변환

중심: C = (σ_x + σ_y)/2
반지름: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
주응력: σ_1,2 = C ± R
주방향: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
경사면의 응력: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

방법

모어 원의 중심을 계산하세요: C = (σx + σy)/2.
반지름을 계산하세요: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.
원 위의 각은 요소에서의 각의 두 배입니다: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

축 응력과 변형률

수직 응력: σ = F/A
변형률: ε = ΔL/L
훅의 법칙: σ = E·ε
늘음량: ΔL = FL/(EA)
열변형률: ε_T = α·ΔT

기둥의 좌굴

오일러 좌굴 하중: P_cr = π²EI/(KL)²
유효 좌굴 길이 계수: K = 1 핀–핀, 0.5 고정–고정, 0.7 고정–핀, 2 고정–자유
임계 응력: σ_cr = P_cr/A
세장비: λ = KL/r, r = √(I/A)

기계 진동

고유 진동수: ω_n = √(k/m), f_n = ω_n/(2π)
정적 처짐으로부터: ω_n = √(g/δ_st)
임계 감쇠: c_c = 2√(km) = 2mω_n
감쇠비: ζ = c/c_c
감쇠 고유 진동수: ω_d = ω_n√(1 − ζ²)
대수 감쇠율: δ = (1/n)·ln(x₀/x_n), ζ = δ/√(4π² + δ²)
병렬 스프링: k = k₁ + k₂
직렬 스프링: 1/k = 1/k₁ + 1/k₂

2연습 문제

1.기어와 기어열보통

두 평행축이 216 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 4 mm, 감속비 5 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 기어의 잇수 N₂은(는) 몇 개여야 하는가?

a = 216 mmm = 4 mmi = 5

N₂ =

2.기어와 기어열어려움

평벨트가 150 mm 풀리와 500 mm 풀리를 연결하며 두 중심은 500 mm 떨어져 있습니다. 작은 풀리의 접촉각 θ을(를) 도 단위로 구하시오.

d₁ = 150 mmd₂ = 500 mmC = 500 mm

θ = °

3.축의 비틀림보통

비틀림 시험에서 지름 15 mm인 속이 찬 시편에 토크 40 N·m을(를) 가한다. 표점 거리 250 mm의 양 끝이 서로 2.96° 회전한다(재료는 아직 탄성 범위). 재료의 전단 탄성 계수 G을(를) 구하시오.

T = 40 N·md = 15 mmL = 250 mmφ = 2.96°

G = GPa

4.축의 비틀림어려움

지름 30 mm인 속이 찬 강철 축이 A에서 고정되어 있다. A에서 0.8 m 떨어진 B에 토크 100 N·m이(가), 거기서 1.2 m 더 떨어진 자유단 C에 같은 방향의 토크 1000 N·m이(가) 작용한다. 축의 최대 전단 응력 τ_max을(를) 구하시오.

d = 30 mmT_B = 100 N·mT_C = 1000 N·mAB = 0.8 mBC = 1.2 m

τ_max = MPa

5.모어 원과 응력 변환보통

한 점에서 σₓ = 50 MPa, σᵧ = 30 MPa이다. 최대 주응력이 105 MPa에 도달하기 전까지 전단 응력 τ_xy(크기)은(는) 얼마나 커질 수 있는가?

σ_x = 50 MPaσ_y = 30 MPaσ₁ = 105 MPa

τ_xy = MPa

6.모어 원과 응력 변환어려움

안지름 400 mm, 벽 두께 8 mm인 얇은 원통형 탱크에 계기 압력 3 MPa의 기체가 들어 있다. 탱크는 원통의 축과 40°를 이루는 나선형 이음매를 따라 용접한 판으로 만들어졌다. 용접 이음매를 따라 작용하는 전단 응력 크기 |τ_n|을(를) 구하시오.

D = 400 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 40°

|τ_n| = MPa

7.축 응력과 변형률보통

강철 봉(지름 30 mm, E = 200 GPa)이 황동으로 만든 관(바깥지름 120 mm, 안지름 50 mm, E = 100 GPa) 안에 들어 있습니다. 둘 다 길이가 800 mm이며 강체 판 사이에서 250 kN으로 함께 압축됩니다. 줄어든 길이 δ을(를) 구하시오.

P = 250 kN막대: Ø30 mm, E = 200 GPa관: Ø120/Ø50 mm, E = 100 GPaL = 800 mm

δ = mm

8.축 응력과 변형률어려움

계단형 봉이 벽에 고정되고 자유단에 하중을 받는다. 봉의 최대 수직 응력 σ_max을(를) 구하시오.

P = 45 kN구간 1: Ø25 mm, 1.5 m, 구리 (E = 117 GPa)구간 2: Ø12 mm, 1 m, 알루미늄 (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

9.기둥의 좌굴보통

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 오일러 공식을 이용해 임계 좌굴 하중 P_cr을(를) 구하시오.

L = 1.5 mE = 70 GPa (알루미늄)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.기둥의 좌굴어려움

길이 L인 알루미늄 기둥이 양단 핀이다. 세장비와 오일러 공식에 의한 임계 좌굴 응력 σ_cr을(를) 구하시오.

L = 3 mE = 70 GPa (알루미늄)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.기계 진동보통

감쇠가 있는 질량–스프링계의 자유 진동 시험에서 변위 최댓값 30 mm 다음 4주기 뒤에 최댓값 8.5 mm가 나타난다. 감쇠비 ζ을(를) 구하시오.

x₀ = 30 mmx₄ = 8.5 mmn = 4

ζ =

12.기계 진동어려움

40 kg 질량이 스프링 k₃ = 15 kN/m에 매달려 있다. k₃의 위쪽 끝은 강체 막대에 붙어 있고, 이 막대는 나란히 놓인 두 스프링 k₁ = 60 kN/m, k₂ = 100 kN/m에 매달려 있다. 막대는 수평을 유지한다. 감쇠와 스프링 및 막대의 질량은 무시한다. 연직 진동의 고유 진동수 f_n을(를) Hz 단위로 구하시오.

m = 40 kgk₁ = 60 kN/mk₂ = 100 kN/mk₃ = 15 kN/m

f_n = Hz

3용액

1.기어와 기어열

답: N₂ = 90

기어의 기하: 모듈 m이 이의 크기를 정합니다. 잇수 N인 기어의 피치원 지름은 d = m·N이고, 맞물리는 두 기어는 모듈이 같으며, 중심 거리는 a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2입니다. 피치원 속도는 v = π·d·n/60이고, 접선 방향 치면력은 토크에서 나옵니다: F_t = 2T/d.

총 잇수

N₁ + N₂ = 2a/m = 2·216/4 = 108

비율로 나누기

N₁ = 108/(1 + 5) = 18

N₂ = 5·18 = 90

답

N₂ = 90

2.기어와 기어열

답: θ = 139 °

벨트 구동: 미끄러짐이 없으면 두 풀리의 림 속도가 v = π·d·n/60으로 같으므로 n₁·d₁ = n₂·d₂이고 속도비는 d₂/d₁입니다. 미끄러짐 s가 있으면 종동 풀리가 조금 느려집니다: n₂ = n₁·(d₁/d₂)·(1 − s). 전달 동력은 P = (T₁ − T₂)·v이며, T₁은 긴장측 장력, T₂는 이완측 장력입니다. 마찰이 장력의 비를 제한합니다: T₁/T₂ = e^μθ이며, θ는 작은 풀리의 접촉각(라디안)입니다. 평벨트에서는 축간 거리 C에 대해 θ = π − 2·asin((d₂ − d₁)/(2C))입니다.

벨트 각도

asin(0.35) = 20.49°

접촉각

θ = 180 − 2·20.49 = 139°

답

θ = 139°

3.축의 비틀림

답: G = 38.95 GPa

원형 축의 비틀림: 전단 응력은 중심에서 0이고 표면에서 τ_max = T·r/J까지 선형으로 증가합니다. 속이 찬 축은 J = πd⁴/32, 속이 빈 축은 J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32. 비틀림각은 φ = TL/(GJ) (라디안)입니다. 동력과 토크는 P = T·ω로 연결됩니다.

극관성 모멘트와 각

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 2.96·π/180 = 0.05166 rad

전단 탄성 계수

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(4970·0.05166) = 38946 MPa

G = 38.95 GPa

답

G = 38.95 GPa

비교: 강철 ≈ 80 GPa, 황동 ≈ 39 GPa, 알루미늄 ≈ 26 GPa.

4.축의 비틀림

답: τ_max = 207.5 MPa

내부 토크

T_C의 방향을 양으로 잡습니다.

T_BC = T_C = 1000 N·m

T_AB = T_C + T_B = 1000 + 100 = 1100 N·m

최대 전단 응력

내부 토크가 가장 큰 구간의 응력이 가장 큽니다(지름이 같음).

|T|_max = 1100 N·m

τ_max = 16·1.1 × 10⁶/(π·30³) = 207.5 MPa

답

τ_max = 207.5 MPa

5.모어 원과 응력 변환

답: τ_xy = 64.23 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다.

필요한 반지름

C = (50 + 30)/2 = 40 MPa

R = σ₁ − C = 105 − 40 = 65 MPa

전단 응력

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(65² − 10²) = 64.23 MPa

답

τ_xy = 64.23 MPa

6.모어 원과 응력 변환

답: |τ_n| = 18.47 MPa

평면 응력 변환: θ만큼 회전한 면에서 σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. 모어 원은 모든 면을 한꺼번에 보여 줍니다. 중심은 C = (σₓ + σᵧ)/2, 반지름은 R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²)입니다. 주응력은 C ± R이고, 면내 최대 전단 응력은 R입니다. 얇은 원통: 원주 응력 σ_h = pr/t, 축 응력 σ_a = pr/(2t). 이들이 벽의 주응력입니다.

벽의 응력

r = 400/2 = 200 mm

σ_h = pr/t = 3·200/8 = 75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 37.5 MPa

이음매 방향으로 변환

x를 축 방향(σ_a), y를 원주 방향(σ_h)으로 잡습니다. 이음매의 법선은 축과 90° − α를 이룹니다.

|τ_n| = (75 − 37.5)·sin 40°·cos 40° = 18.47 MPa

답

|τ_n| = 18.47 MPa

7.축 응력과 변형률

답: δ = 0.1859 mm

두 재료: 직렬(차례로 이어짐)에서는 모든 구간이 같은 힘을 받고 늘어난 길이가 더해집니다: δ = P·Σ L/(E·A). 병렬(강체 판 사이에 나란히)에서는 두 부분이 같은 양만큼 줄어들므로 변형률이 같습니다. 더 강성이 큰 부분이 더 큰 몫을 받으며 P_i = P·E_iA_i/ΣEA, σ_i = E_i·ε입니다. 접합부에 하중이 작용하며 두 강체 벽 사이에 고정된 막대는 부정정입니다: 두 구간은 강성 k = EA/L에 비례해 하중을 나눕니다.

넓이

A_r = π·30²/4 = 706.9 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

합성 축강성

ΣEA = 200·10³·706.9 + 100·10³·9346 = 1.076 × 10⁹ N

줄어든 길이

δ = 250000·800/1.076 × 10⁹ = 0.1859 mm

답

δ = 0.1859 mm

8.축 응력과 변형률

답: σ_max = 397.9 MPa

축하중 부재: 각 균일 단면 구간은 δ = PL/(AE)를 따릅니다. 직렬 부재에서는 늘음량을 더합니다.

두 구간에 같은 힘

자유단이 P를 받으므로 봉의 모든 단면은 같은 축력 P를 받습니다. 바뀌는 것은 면적과 재료뿐입니다.

A₁ = π·25²/4 = 490.9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113.1 mm²

σ₁ = 91.67 MPa

σ₂ = 397.9 MPa

최대 응력

가는 구간은 면적이 작아 응력이 더 큽니다.

σ_max = 397.9 MPa

답

σ_max = 397.9 MPa

9.기둥의 좌굴

답: P_cr = 16.38 kN

오일러 좌굴: 세장한 기둥은 P_cr = π²EI/(KL)²에서 불안정해집니다. KL은 유효 좌굴 길이로, K = 1(핀–핀), 2(고정–자유), 0.7(고정–핀), 0.5(고정–고정)입니다. 기둥은 I가 가장 작은 축에 대해 좌굴합니다. 이 식은 임계 응력이 항복 응력보다 작은 세장한 기둥에 적용됩니다.

최소 단면 2차 모멘트

직사각형은 약축에 대해 좌굴하므로 작은 치수의 세제곱을 씁니다.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

유효 좌굴 길이

KL = 1·1500 = 1500 mm

임계 하중

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·53333/1500² = 16376 N = 16.38 kN

답

P_cr = 16.38 kN

10.기둥의 좌굴

답: σ_cr = 4.318 MPa

최소 단면 2차 모멘트

원형 단면은 모든 축에 대해 I가 같습니다.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

회전 반경과 세장비

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·3000 = 3000 mm

KL/r = 3000/7.5 = 400

임계 응력

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/400² = 4.318 MPa

답

σ_cr = 4.318 MPa

11.기계 진동

답: ζ = 0.05012

질량–스프링계의 자유 진동: 비감쇠 고유 진동수는 rad/s 단위로 ω_n = √(k/m), Hz 단위로 f_n = ω_n/(2π)입니다. 점성 감쇠기 c는 감쇠비 ζ = c/c_c를 주며, 임계 감쇠 계수는 c_c = 2·√(k·m) = 2·m·ω_n입니다. 부족 감쇠계(ζ < 1)는 ω_d = ω_n·√(1 − ζ²)로 진동합니다. 병렬 스프링은 더하고 k = k₁ + k₂, 직렬 스프링은 역수로 더합니다, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.

대수 감쇠율

δ = (1/4)·ln(30/8.5) = 0.3153

감쇠비

ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.3153/√(39.48 + 0.0994) = 0.05012

답

ζ = 0.05012

12.기계 진동

답: f_n = 2.947 Hz

등가 강성

k₁과 k₂만 병렬입니다. 그 쌍이 k₃와 직렬이므로 역수로 합성하세요.

k₁₂ = 60 + 100 = 160 kN/m

k_eq = 160·15/(160 + 15) = 13.71 kN/m

고유 진동수

ω_n = √(13714/40) = 18.52 rad/s

f_n = 18.52/(2π) = 2.947 Hz

답

f_n = 2.947 Hz

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